Artikel über Paradoxien: "Bewegung ist es nicht!"

Zurück zur Liste von Artikeln über die Paradoxien

Der Leser muss eine lustige Episode aus Cervantes 'Roman "Don Quixote" erinnern. Kaum hatte Sancho Panza mit seiner Gouverneurs- Position begleichen, als er einen klugen Test geführt.
Eine gewisse Anwesen wird durch den Fluss in zwei Hälften geteilt reich. Über den Fluss von einer Brücke überspannt, und in der Nähe Galgen ominös ragt. Das Gesetz besagt: "Jeder von dieser sehr Brücke über den Fluss vorbei soll unter Eid zu erklären, wo und warum er geht, die die Wahrheit sagen kann, der Pass frei, und die liegen zu sein, die zu Tode gebracht, ohne Gnade durch den Strang."
Und wie auf der Erde war es möglich, dass eines Tages ein Mann in geschworen, sagte er, er de schwört, dass er hierher gekommen, so ... es an den Galgen gehängt ist, und nicht für irgendetwas anderes. Sobald die Richter die Verwirrung zu sehen! In der Tat, zu gehen, wenn Sie die exzentrische Fremde lassen, würde es bedeuten, dass er den Eid verletzt hatte nach dem Gesetz und unterliegt Strafe. Auf der anderen Seite, wie der Fall von ihm? Immerhin schwor er, wenn auch erst später kam, gehängt zu werden, - so ist es nicht falsch Eid, und auf der Grundlage desselben Gesetzes muss intakt passieren.
Schlechte Sancho konnte nicht rühmen, die Weisheit des biblischen Königs Salomo. Allerdings nahm er folgsam den schwierigen Fall und es wird nichts sumnyashesya wie folgt beurteilt: "die halb Mensch, der die Wahrheit gesagt, lassen Sie ihn vermissen, und die, die logen, hängen lassen". "Aber, Herr Gouverneur, - sagte der betäubten Gegner - wenn Sie einen Mann in Stücke schneiden, ist er sich sicher, zu sterben und dann weder das eine noch das andere Artikel des Gesetzes wird nicht zwischen dem Gesetz durchgeführt werden muss in seiner Gesamtheit eingehalten werden.". Senor Gouverneur schließlich zum Stillstand geliefert, Freundlichkeit, riet einfach die Petentin seltsam an allen vier Seiten zu lassen.
So wurde das Gesetz verletzt wurde. Aber er konnte einen guten simpleton Sancho tun, die nicht einmal für seine Entscheidung unterzeichnen könnte? Nun, wir, die Leser von Cervantes, wobei mit Logik und Mathematik bewaffnet, wenn wir 400 Jahre mit einem solchen Puzzles zu bewältigen? Um diese Frage zu verstehen, müssen wir in die wunderbare Welt der Paradoxe aussehen, über den gesunden Menschenverstand zu gehen.
Paradoxien sind von alters her bekannt. Der berühmte kretische Philosoph Epimenides, der im sechsten Jahrhundert vor Christus lebte, zu einer eher ungeschminkt Kritik seiner Landsleute zugeschrieben: ". Alle Kreter sind - Lügner" Nur hier ist das Problem: er ist auch die kretischen Epimenides! Es stellt sich heraus, dass, wenn Epimenides die Wahrheit sagt, dann ist er ein Lügner ist, dann wirft er falsche Anschuldigungen zu ihren Mitbürgern und zu sich selbst, das ist nicht die Wahrheit zu sagen. Wie sind alle gleich: wahr oder falsch Ausdruck, die Bewohner der Insel zu diskreditieren - die Wiege der menschlichen Kultur?
Das Paradox der Epimenides, sonst bekannt als das "Paradox des Lügners" tritt immer noch in weniger aphoristisch, aber eine stärkere Form: "Ich liege" oder "Aussage, die ich jetzt falsch bin Aussprechen." Zitate sind, kann natürlich nicht sein, ohne Streit weder wahr noch falsch. Diese Version des Paradoxons gehört Evbulidu (IV Jahrhundert vor Christus. E.).
Im Jahr 1913 hinzugefügt englische Mathematiker Jordan an den Fiskus der Paradoxien dieser auf einer Seite der Karte ist eingeschrieben: "Die Erklärung auf der Rückseite dieser Karte ist wahr." Welche Art von Aussage? Durch Drehen der Karte, Sie lesen: "Die Erklärung auf der Rückseite dieser Karte ist falsch." So gehen und sehen, was was ist. Gemäß der ersten Nachricht und der zweiten Ordnung. Aber wenn die richtige Sekunde, es falsch ist die erste! Umgekehrt.
Die alte "Krokodil Dilemma" Situation wie tragikomisch und absurd wie die von Cervantes. Crocodile stiehlt Kinder. Monster Versprechen an die Eltern, das Kind zurückzugeben, wenn der Vater errät, geben Sie ihm ein Krokodil Baby oder nicht. Was der arme Monster, wenn der Vater plötzlich sagen, dass das Krokodil zu sein Kind nicht zurück?
Wir greifen oft auf die Dienste bei Streitigkeiten das Argument "es gibt keine Regeln ohne Ausnahmen", zu vergessen, dass dieser Ausdruck selbst die Regel ist und Blätter, auch sollte eine Ausnahme sein. Paradox? Zweifellos! Und es entstand, weil die Sanktionen durch das Gesetz erklärt, wir auf das Gesetz selbst angewandt haben. Seien Sie also vorsichtig mit solchen Argumenten, sie sind voller logischer schmutzigen Tricks!
Interessanter elegant logische Paradox 1908 von deutschen Mathematiker Kurt Grelling formuliert. So geben Sie die Seile avtologichnogo Definition analysieren (von Selbst-) Adjektiv. Die meisten Adjektive haben nicht die Qualität, die sie bezeichnet. Zum Beispiel ist das Wort "red" an sich nicht rot, das Wort "aromatisiert" riecht nicht. Aber das Adjektiv "russischen" - wahrhaft russischen "trisyllabic" - drei Silben, "abstrakt" - abstrakte und etc. Jedes dieser Adjektive auf Grelling Terminologie avtologichno dh die Macht hat, in Bezug auf sich selbst, die gleiche Qualität zu genießen, dass es die anderen Konzepte gibt. Andere Unternehmen - heterologe, dh nesamoprimenimye Adjektive. Sprechen Sie das Wort "drei Silben" - an sich nicht ternär "unendlich" hat eine endliche Größe, "Beton" - im Sinne der abstrakten. Paradox Grelling ergibt sich aus der Frage: In welchem ​​Klasse das Adjektiv "nesamoprimenimy" enthalten? Von Selbst es oder nicht? Lassen Sie uns, dass das Adjektiv "nesamoprimenimy" nesamoprimenimo annehmen. Dann ist es (nach dieser Definition Grelling) von selbst! Und wenn es von selbst, dann auf welcher Grundlage es wird Kontakt nesamoprimenimym genannt?
Hier ist eine weitere logische Überraschung. Betrachten Sie den Ausdruck:
"Die kleinste positive ganze Zahl, die bestimmt werden kann, nicht um weniger als sechsunddreißig Silben." Inzwischen schreiben nur einen Satz mit fünfunddreißig Silben (die Mathematik und sehen Sie selbst!) Definiert nichts anderes als eine Zahl, die per Definition nicht in weniger als einem Satz von sechsunddreißig Silben bestimmt werden!
Mit einer solchen Widersinn reich in der Geschichte der Logik. Der Leser kann ihre Stärke testen, versuchen, aus dieser semantischen Labyrinthe zu erhalten. (Da das Problem aufgetreten ist, gab es keine einzige Lösung, die den Wissenschaftlern bedingungslos zustimmen würde.) Ob jedoch zu Recht gesagt: "semantische Labyrinthe"? Jedes Labyrinth, egal wie kompliziert es auch sein mag, es gibt einen Weg. Und wenn die Besucher des berühmten kretischen Labyrinth zu lange durch die Feinheiten der seine Bewegungen wandern, immer in den Klauen des Minotaurus fallen, waren die Schuld selbst. Die Menschen feiern nur Empfänge Weg, auch ohne die Fähigkeit, würden sie nicht weniger als zuverlässiges Mittel zum Heil als der berüchtigte Ariadnefaden erhalten zu navigieren entwickelt zu haben. Mit anderen Worten, in diesen Fällen bringt es uns nur die Gesetze der Logik und Geometrie außer Acht lassen. Eine andere Sache, Paradoxien. Ihr Wortlaut ist so einfach, so klar, dass etwas wandern, in der Tat, nirgendwo: Es gibt kein Labyrinth selbst! Aber egal, wie anspruchsvoll noch waren unsere Kenntnisse der Logik und Mathematik, nein, auch die poliert, das Schwert der Vernunft kann nicht diesen gordischen Knoten der Logik geschnitten ...
Und noch eine Klarstellung. Unter dem Paradox ist in der Regel etwas entgegen unserer Intuition, unsere alltägliche Erfahrung, unsere direkten Empfindungen verstanden. Paradoxerweise in diesem Sinne, so schien es eine Offenbarung-geliotsentristov Astronomen: nicht die Sonne um die Erde dreht, und die Erde um die Sonne. Aber egal, wie unsere Intuition revoltierten, Logik des wissenschaftlichen Denkens unerbittlich führt uns zu dieser Schlussfolgerung. Inzwischen gibt es ein Paradox von einer Art. Unter Verwendung der gleichen logischen Einheit, die gleichen Methoden der Argumentation - und in der Tat wurden sie seit Tausenden von Jahren gemahlen und basieren auf unserem Wissen! - Wir kommen unweigerlich zu einem unlösbaren Widerspruch. Also, wir reden über die Unvollkommenheiten, Mängel der tief in der logischste System unseres Denkens verwurzelt.
Jedoch kann der Leser fragen: Wer all diese Kasuistik braucht? Und ob es überhaupt notwendig ist?
Diese semantische Absurdität ist nicht nur lustig Tricks der Logik. Nicht einmal waren die Paradoxien mit der Umstrukturierung der Grundlagen des Denkens verbunden.

Besonders instruktiv Saga von berühmten Paradoxien (Paradox), Zeno, der fünfundzwanzig vor Jahrhunderten eine echte Sensation waren. Aber nicht nur eine Sensation, die kurz auf die Psyche des Menschen in der Straße verletzen, und verschwindet dann spurlos aus dem Kopf. Sie hatten einen deutlichen Einfluss auf die Fortschritte der Mathematik, und gehen immer noch nicht auf die Seiten der größten mathematischen, logischen, philosophischen Werken, in denen Wissenschaftler ihre Köpfe und Speer kratzen: überwunden oder nicht, die von diesen schrecklichen Aporia erzeugt Schwierigkeiten?
... Wie viele, die lesen Homers "Ilias" erinnert sich nicht an die Verfolgungsjagd für den schrecklichen Achilles 'shlemobleschuschim ", aber die Reihenfolge struhnuvshim Hector? Starke lief voraus, aber verfolgte viele starke ... Es ist wahr, dass Rennen um Troy noch mit der Niederlage von Hector beendet. Aber nicht im Rennen! In einem tödlichen Kampf. Und vor dem Kampf Achilles musste aufhören und nicht mit dem Feind gefangen. Nun, der Gegner war agil und leichtfüßig. Und wenn er war ungeschickt und Schnecke?
Ja, anmutig und kraftvoll Achilles, Sohn des Peleus, der Held des trojanischen Krieges, gesungen von Homer. Und ungeschickt, wie eine sich langsam bewegende Schildkröte, slyvuschego überall Standard Langsamkeit und Trägheit! Sie, ob in der Geschwindigkeit mit dem legendären Läufer zu konkurrieren? Aber die antike Sage Zeno glaubte, dass Achilles wird nie die Schildkröte überholen. Der Glaube, Philosophie basiert auf der Tatsache, dass bei der Verfolgung, den Ort zu erreichen, wo er zum Ausgangspunkt gejagt wurde, mit einem Läufer voraus, um aufzuholen, wenn auch ein wenig weiter. So wird der neue kleine uchastochke Weise Achilles haben wieder mit der Schildkröte, um aufzuholen. Doch während die Verfolger er diesen zweiten Punkt erreicht, Flüchtling wieder vorwärts zu bewegen. Und so weiter bis ins Unendliche. Wenn jedoch wird es ohne Ende dauern, wie Achilles in der Lage, die Schildkröte überholen?
Auf der anderen Seite, aus ihrer eigenen täglichen Erfahrung weiß jedes Schulkind, dass er nicht in der Achilles ist, leicht in der Lage, die Schildkröte zu überholen, nicht nur, aber, Gott bewahre, und der Lehrer - ist nur die Glocke ertönte, läutet das Ende der Lektion.
Und es gibt keine "Achillesferse" in sich Zeno Argumentation?
Im klassischen Verlauf der Logik geschrieben Minto feierte Läufer leicht vor seinem unwürdigen Rivalen, aber gibt es einen Kopf, nicht nur in der Ferne starten - 100 Meter (hier alte russische, nicht griechische Längenmaß zu essen, aber es spielt keine Rolle), sondern auch in der Geschwindigkeit : sie bewegt sich in voller Kraft nicht - nur zehnmal schneller Schildkröte. Das heißt, im Wesentlichen vor, zur Zeit geht langsam, siegessicher. Doch an die Stelle bekommen aus, die auf dem Weg prompt von stavlennitsa Zeno auf den Weg, der Sohn des Peleus sehen, dass sie nach vorne noch 10 Yards zu kriechen verwaltet. Während Achilles die 10 Meter zu überwinden, wird die Schildkröte noch sieben Füße nehmen. Nun, die leichtfüßige wertlos decken etwa sieben Meter gibt. Ein plump, inzwischen bewegt - sogar ein Zehntel ergründet, aber immer noch nach vorn, weg von der Verfolger! Bei jedem Schritt wird der Abstand verringert. Solche Schritte sind offensichtlich die Set-unendliche Mengen. Kein Problem: die moderne Mathematik gelernt, die unendliche Folge zusammenzufassen. Und Minto unendliche Reihe bauen: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... Vor uns exponentiell abnimmt. Seine leicht die Höhe der aktuellen Schüler berechnen, es sei denn, er bereits eine Algebra Lehrbuch bestanden hat, so scheint es, für die achte Klasse; Diese Summe ist auf 111 1/9 gleich. Durchführen einfacher Berechnungen, kommt zu dem Schluss Minto: "Sophist beweisen will, dass Achilles wird nie die Schildkröte überholen, und eigentlich nur der Beweis, dass Achilles es zwischen den 111. und 112. Klafter auf ihrem Weg einholt."
Es scheint korrekt zu sein. Es scheint logisch zu sein. Ach, triumphierend oprovergateli nicht die Scham Sophist zu beantworten, weil die Frage anders gestellt wurde: nicht wann, aber wie kann ein solches Treffen ...
Der Leser möge die alten Weisen selbst und sein Gegner richten. Um die Antwort zu 111 1/9 Klafter zu bekommen, ist es nicht notwendig, die Summe einer unendlichen Reihe greifen. Sie können das Problem in der üblichen algebraische Weise zu lösen, die unbekannte Straße zu nehmen, die bis zum "Rendezvous" gruselige Schönheit von seinem selbstbewussten Verfolgers verschämt läuft weg kriechen.
Oh, wenn wir das Unbekannte auftauchte, sei es Iksom - x. Dann wird der Weg marschierten Achilles, ist größer als der Abstand während des Starts die Läufer zu trennen, und das Intervall Schildkröte bedeckt, bevor sie mit Achilles Treffen: 100 + x. Jetzt hören: die Bewegung von Anfang an beide Läufer treffen gleich. Und die Geschwindigkeit der Achilles zehnmal höher. So ist der Weg, getan Achilles, wird auch zehnmal mehr als die Schildkröte (n). Wir bilden die Gleichung (100 + x): x = 10 berechnen: x = 11 1/9. So viele Klafter Schildkröte gekrochen? Und Achilles? 100 + x = 111 1/9
Es ist schwer zu glauben, dass Zeno nicht in der Lage war, wie elementare Mittel den gewünschten Teil des Weges zu finden. Noch schwerer vorstellbar, dass Zeno hatte niemand übertroffen oder nicht sehen, wie andere es tun. Nein, nicht umsonst antike Denker formuliert das Problem so, dass sie das Konzept einer unendlichen Zahl erscheint! Er wurde nicht von Zweifeln geplagt: kann der Körper einen Weg zu tun, bestehend aus den Stücken? Denker verwirrt andere: wie eine konsequente Synthese unzähliger Segmente können, wenn es ewig dauern wird, niemals die Grenze erreicht?
Kann nicht zu erreichen? Ein Punkt wird bei 111 1/9 Klafter von Anfang an im Abstand - das ist die nicht sehr begrenzen? Dort. Derjenige! Aber ist das Problem eingekocht zu, was ist es? Nein! Außerdem ist, wie eine Variable (in diesem Fall ist die Summe einer Reihe) erreicht seine Grenze. Und es reicht auch? Wir nannten die Summe variabel. So ist es. Denken Sie daran, die Serie bestehend Minto: 100 + 10 + 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001. Solange es besteht aus sechs Mitgliedern. Ihre Summe ist gleich 111.111. Diese Zahl ist kleiner als 111 1/9. Allerdings ein wenig, aber immer noch weniger! Der Unterschied wird noch geringer, wenn man auf die Sequenz eines anderen Mitglieds hinzufügen, der siebte: 100 + 10 + 1 + 0,01 + 0,01 + 0,001 + 0,0001. Der Betrag geändert hat, ist es jetzt gleich 111,1111. Sieben Mitglieder - sieben Zeichen inklusive - von denen es bemerkt? Wenn die Mitglieder acht sein würde, wird die Summe wieder auf yedinichku erweitert werden: 111,11111. Usw. Aber wenn Sie ein hundert nehmen, tausend, eine Milliarde Milliarden Mitglieder, ist es immer noch Ihre Zahl mit großen entlang der Länge des Schwanzes der Einheiten wird weniger als 111 1/9. Die Menge variiert, erhöht jedoch nicht die Grenze erreichen. Und doch sind wir in der Lage, die Grenze zu berechnen, die sie anstrebt. Dies wird so getan. Es nimmt die Formel für die Summe der endgültigen (Stress nicht unendlich!) Die Zahl der Mitglieder. Es ist leicht zu folgern - schauen Sie in der Schule Lehrbuch der Algebra. Lassen Sie uns exponentiell in es die Eigenschaften unserer substituieren. Der erste Term haben wir 100. Eine Progression Nenner - ein Zehntel (0,1) -, weil wir jede nachfolgende Begriff kleiner als die vorangegangenen zehn ist. Angenommen, wir die Summe von 777 Mitgliedern berechnet werden soll. Wir erhalten: 100 / (1-0,1) * [1- (0,1) = 777 + 1] Es ist leicht zu sehen, dass die Zahl vor der Klammer auf 111 1/9 gleich ist. Und der Inhalt der Klammern? Etwas weniger als eins. Und es wird umso näher an einem, den größeren Exponenten der Fraktion von 0,1, in Klammern gesetzt. Aber wir einen genaueren Blick auf den Exponenten - die gleiche Anzahl von Begriffen und edinichka! Und jetzt beginnt der Spaß. Wir bewegen uns von einer endlichen Anzahl von Mitgliedern in den unendlich. Exponent von (0,1) erhöht sich auf unbestimmte Zeit. Was mit dem Grad geschieht - von einem Zehntel mit sich selbst multipliziert, so oft wie es unmöglich ist, sich vorzustellen,? Es wird unendlich klein, zu Null tendiert. Und wenn ja, was in Ihrem Textbuch geschrieben ist, können wir sie einfach verwerfen, auf Null gleichsetzt. In Klammern ist die Einheit. Folglich ist die gewünschte Grenze 111 1/9. Aber hören Sie, was sagt über Mathematik (Mund Academician Markov): "Es ist wichtig zu beachten, dass eine Reihe von Werten unendlich klein, wir rechnen nicht ihre Grenze 0". Ein Französisch Mathematiker Mansion in aller Deutlichkeit zum Ausdruck gebracht hat: "Die Grenze der Variable, die wir den konstanten Wert nennen, auf die vage eine Variable nähert, ist es nicht nie erreichen." Aber das gleiche gesagt und Zeno, Vesting es sei denn, die abstrakte mathematische Symbole in lebendige Bilder, die von den schönen alten Mythen inspiriert! Wie weit wir in der fortschreitenden Integration gehen verkürzt "dvizhenits" Achilles, werden wir nie mit einer Schildkröte zu einem Treffen ganz seinen Weg! Wie in Homer erwähnt ( "Ilias" übersetzt Gnedich):
"Diese Flucht, während die andere vergeblich zu erfassen versucht,
Und Helden aufholen nicht mit der nein, nein ist dies nicht weg ... "
Zeno bemerkt durch Schwierigkeiten bei der Schwere der Begriffe "Grenze" und "Kontinuität" zu interpretieren kann durch ein einfaches Beispiel verdeutlicht werden. Stellen Sie sich vor: in Ihrem Zimmer auf dem Boden kriecht Schildkröte. Und plötzlich - Stop! - Bound Tier Nase in der Wand. Schildkröte Way - eine Variable, die bis zu einer bestimmten Grenze wächst. Limit - die Wand. Vielmehr ist der Punkt der Schildkröte Weg zu begrenzen. Aber dieser Punkt gehört nicht zu einer unendlichen Menge von Punkten des Gebietes! Nicht nur das: in Turtle Wege unmöglich, den letzten Punkt zu bestimmen - die, wo die Nase des Schildkröte im Moment des Aufpralls erworben wird, derjenige, der die Grenze vorausgeht - Punkt der Wand. Hier haben wir berührt versehentlich die anderen Paradoxien des Zenon. Wenn die erste in der Geschichte der Mathematik erscheint unter dem Namen "Achilles", der zweite namens "Dichotomie". Dies ist eine alte griechische Wort als "endlose bisection" übersetzt. Bevor ich den ganzen Weg zu schließen, die Schildkröte seiner Hälfte zu passieren hat, sagte Zeno. Doch bevor sie die Mitte des Weges erreicht, sie zur Marke aufzustehen hat, okay seziert diese Hälfte. Bevor Sie jedoch für ein Viertel des Weges verlassen, müssen Sie es "Unzen" passieren ... Puh! So kann sich endlos fortsetzen. Kurz gesagt, schließt Zeno, dass die Bewegung wird es nie!
Geometrisch Paradoxon kann so interpretiert werden. Wir nehmen ein Segment und teilen sie in zwei Hälften. Die linke Hälfte seziert wieder zwei. Quarter-Links - auch in zwei Teile. Dann links Unzen, Sechzehntel 1/32 und so weiter - ohne Ende. Diese Mitteilung nicht Achilles Verfolgung einer Schildkröte oder Schildkröte Reise über das Innen Sackgasse erinnern? Nur führt nun die Rolle der Wand Schildkröte Nase. Sein Punkt - der Punkt der Ruhe. Wo beginnt der erste Satz des Kontos ist der Punkt? Schließlich können wir nicht einen Punkt unmittelbar nach der Grenze des Segments finden - ebenso wie der Lage, einen Punkt unmittelbar vor der Grenze in dem Beispiel der Schildkröte, stoßen auf ein Hindernis zu bestimmen!
Fehler Zeno, so Professor S. Bogomolov, ist, dass, weil es unmöglich ist, sich vorzustellen, der antike Philosoph beginnend über die Unmöglichkeit der Bewegung und verlässliches Wissen über sie abgeschlossen. Es ist voll von der Höhe des mathematischen Wissens seiner Zeit erklärt und mindert nicht sein Verdienst. In der "Dichotomie", wies Zeno die Schwierigkeiten aus, das Konzept der "Kontinuum" (kontinuierliche Folge von allen Punkten einer Linie) und die "Bewegung" zu begreifen. Aber Mathematik ist seit langem auf die Tatsache gewöhnt, dass der Geist beschäftigt sich mit den Problemen, vor denen Intuition machtlos ist. Dennoch muss zugeben, dass wir immer noch, dass "Dichotomie" ist einige unlösliche Rückstand. Wir sprechen über eine unendliche Zahl, die keinen Anfang hat. Es ist die gleiche Dialektik der Unendlichkeit, die in Bezug auf die Sequenz von Zeitpunkten besonders akut wird.
Unser nächster Pass - "Boom", der dritte Aporie. Dritte in einer Reihe, aber nicht zuletzt. Wir sind für die Paradox warten, die einen guten Ruf hat, in den Worten von Professor A. Bogomolov, "Apotheose zenonovskoy Dialektik".
"Es gibt keine Bewegung, sagte der Weise bradaty ..."
Das Puschkin zitiert Zeno. Und er fährt fort:
"... Der andere sagte nichts und stand vor ihm gehen.
Stärker als er nichts einzuwenden hätte.
Alle lobten die Antwort kompliziert.
Aber, meine Herren, dieser Fun-Event
Ein weiteres Beispiel für Speicher führt mich zu:
Immerhin jeden Tag die Sonne vor uns geht,
Allerdings Bahn Rechte hartnäckig Galileo! "
Puschkin zitiert Schriftsteller Daniil Danin, in seinem Buch "Die Unvermeidlichkeit von einer fremden Welt." Und er fährt fort: "Zeno fragte: - Das ist Boom fliegen, in jedem Moment irgendwo fangen kann, wo sie in diesem Moment ruht, wo kommt die Bewegung bedeutet, die Bewegung - eine Abfolge von Zuständen der Ruhe ist es nicht Unsinn ???
Die Begründung war tadellos. Aber die Beweise von Diogenes, der begann, auch zu gehen, war unwiderlegbar. Könnte ein Ausweg aus diesem scheinbaren Widerspruch finden - die Bewegung der Momente der Ruhe aus? Output sollten suchen und finden.
Um dies zu tun, Mathematik und Mechanik musste lernen, wie man mit unendlich kleinen Mengen zu arbeiten. Sie mussten lernen, den Ruhezustand als Nullgrenze von verschwindend kleine Bewegung zu sehen. Dies macht die Differentialrechnung. Und wir mussten lernen, diese Nullen zu setzen sind nicht überrascht, dass die unendliche - die Zugabe von unendlich kleinen dvizhenits kann eine sehr reale letzte Etappe der Reise geben. Dies macht die Integralrechnung. Im Argument von Zeno war spürbar logische Fehler. Es zersetzt Bewegung des Auslegers auf eine unendliche Anzahl von Zuständen der Ruhe, und legte sie auf eine arithmetische Logik endliche Summen: Wenn man so viele Nullen nehmen noch Null zu bekommen. Und so sagte er: "Nein-Bewegung". Und die Sache ist, dass, egal wie groß die Arithmetik "wie sie ist", ist es noch nicht unendlich ist. Diogenes nur in der Stille und konnte Zeno widerlegen - die Worte, würde er das nicht passiert, weil es nicht die richtige Zeit für dieses Wort "war.
Nun, das ist wohl wahr, dass Diogenes wäre nicht die richtigen Worte zu finden, um zu argumentieren - wenn auch nicht zu Zeno, und einer seiner Anhänger (Zeno starb für hundert Jahre vor der Geburt von Diogenes). Nun, heute? Was ist das Zauberwort, was Sie Angriffe Zeno de-abwehren kann? Offensichtlich Differential- und Integralrechnung, ist es nicht? Nun wollen wir versuchen, mit den alten Querulant schlagkräftigsten Argumente der mathematischen Analyse zur Vernunft.
Zwiebelringe, Pfeil zittert,
Und Club, erhängt Python ...
Und Ihr Gesicht Sieg scheint,
Belvedere Apollo!
Mordszene von Puschkin gemalt, grafisch ballistischen Kurve und im Idealfall (wenn wir den Luftwiderstand zu ignorieren) - Parabel entlang derer bewegt den Pfeil auf der Sehne zum Ziel. Koordinaten sind: Hubhöhe (vertikale Achse) und Flugzeit (horizontale Achse). wir sind über die Differenzierung zu konfigurieren. Wie Geschwindigkeit zu berechnen? Klar, wie ich aus dem Tacho kopiert und Laufleistung auf die Zeit geteilt, während der das Auto seinen Weg gemacht. Richtig. Der einzige Weg, werden wir die durchschnittliche Geschwindigkeit finden. Und sie sicherlich verändert! Zuerst war das Auto - die Geschwindigkeit gleich Null ist. Dann zog er - die Geschwindigkeit zu steigen begann, überschritten die zulässige Schwelle; dann blies die Pfeife der Polizist zu bremsen hatte - Geschwindigkeit stark zurückgegangen, während die Maschine wieder angewurzelt werden. Wenn wir die Durchschnittsgeschwindigkeit zu berechnen, wird klar, dass Sie in Ordnung sind und einige gar nicht! Allerdings ist der Posten bis zu Schnupftabak. Er kann sich nicht bewusst der Differentialrechnung, aber sicherlich Verletzungen etwas sinnlos. Wie haben wir bestimmen den genauen Wert der Geschwindigkeit an jedem beliebigen Punkt in der Zeit?
Lassen Sie uns zum Explodieren brachte zurück: seine Rate durch einen einfachen mathematischen Ausdruck beschrieben wird. Erst dann das Gegenteil: am Anfang eines Strings Pfeilgeschwindigkeit maximal (wir um seine Steiggeschwindigkeit sprechen). Der höchste Punkt der Strecke ist Null. Zum Zeitpunkt des Mordes Python erreicht wieder den Maximalwert. Zu jeder Zeit, ist es anders als zuvor. Trotzdem können wir die Regelmäßigkeit erfassen, mit denen sie von Punkt ändert sich zu zeigen.
Stellen Sie sich vor Pfeil Schuss in den strahlend Gott ekelhaft Monster fliegen, auf Film gedreht. Und wir hielten, ob die Demo-Film irgendwo in der Mitte, ein beliebiges Bild schnappend. An diesem Punkt wird der Pfeil (es ist besser, um eine seiner Punkte, beispielsweise der Schwerpunkt sprechen) auf einer bestimmten Höhe gestiegen. Wir sind das Bandlaufwerk wieder, aber gerade genug, so dass vor unseren Augen nächsten Frame stand. Der Schwerpunkt seiner Route auf einem winzigen Stück erstreckt, wird in dem neuen Punkt, an dem die Hubhöhe erhöht wird. Wir bezeichnen diese Höhenzuwachs als "delta es". Und zur gleichen Zeit das Symbol "delta te" bezeichnen das Zeitintervall zwischen benachbarten Frames. Dann ist die durchschnittliche Rate der Aufstieg auf diese Weise ausgedrückt uchastochke einfach Schuss Delta s / delta t. Achten Sie darauf, - die Geschwindigkeit, mit uns wieder bedeuten! Je näher der Wert der Bruchteil der tatsächlichen Geschwindigkeit am ersten Punkt ja, aber kleiner als "Delta-te",. Wenn der Film-Kamera-Auslöser bei der Aufnahme würde geklickt haben tausendmal mehr als das Zeitintervall zwischen zwei benachbarten Rahmen haben auch genau tausendmal gesunken. Bedeutung der "momentanen" Geschwindigkeit geschickter zu werden. Doch so lange, solange unsere Dol-ka Zeitachse begrenzt ist (nicht unendlich klein) Wert-Verhältnis "delta es" zu "delta te" gibt nur die mittlere Geschwindigkeit zwischen den beiden Momenten. Was ist, wenn Sie ein "Delta-te" unendlich klein machen? Mit anderen Worten, der zweite Punkt der beweglichen Spur präsentiert, näher und näher an ihr starr ersten Punkt sitzen? Dann wird der "delta te" gegen Null streben. "Delta Es" zu. Und ihre Haltung? Es wird sich genauer und präziser Transferwert des Auslegers Geschwindigkeit zu der Zeit auf dem ersten Frame gedruckt. Aber nur in der Grenze wird es in diesem Moment momentane Geschwindigkeit sein. Diese Grenze Beziehungen mit Delta t, zu Null tendiert, das Zeichen durch ein zweistöckiges "de es für de te" dargestellt wird, und nannte die Ableitung der Funktion (in diesem Fall von dem Pfad in der Zeit abgeleitet). (Ds und dt werden Differenzen genannt (aus dem lateinischen Wort "Differenz").
Приведенное построение можно повторить применительно к любой точке нашей кривой. Впрочем, не обязательно только нашей, а вообще любой кривой. Конечно, вид производной будет неодинаковым для разных кривых, не говоря уже о том, что ее значение меняется от точки к точке у каждой кривой. Но теперь мы знаем закон поведения производной: она меняется так же, как и угол наклона касательной к кривой в данной точке. И геометрический смысл произведений - тангенс этого угла. Ведь что такое наши "дельта эс" и "дельта тэ", как не катеты прямоугольного треугольника! Треугольник построен на гипотенузе с теми самыми краевыми точками, которые отмечали положение центра тяжести стрелы на обоих кадрах. Когда же мы начали сдвигать эти соседние точки, гипотенуза слилась с касательной.
Так вот: отыскав производную, мы продифференцировали функцию - в нашем случае уравнение параболы. Зная производную, мы можем найти и первоначальную (первообразную) функцию, то есть проделать обратную операцию - интегрирование. Приемы дифференцирования и интегрирования едва ли сложнее алгебраических правил. Но нас сейчас волнует не это. Какой смысл таится в дроби ds/dt? Здесь и числитель и знаменатель вроде бы... нули! Но ведь отношение нулей - абсурд!
Чтобы разобраться в парадоксе, придется снова совершить экскурс в прошлое и ответить на вопрос: а сумел ли Ньютон отразить "стрелу", пущенную Зеноном? Не постигла ли его детище - анализ бесконечно малых - злая участь Пифона, убиенного Аполлоном Бельведерским?
...24 августа 1624 года в Париже должен был состояться публичный диспут. Но перед самым открытием дискуссии один из ее устроителей, де Клав, был арестован. Другому, Виллону, пришлось скрыться. Специально изданный парламентский указ гласил: запретить полемику; в торжественной обстановке перед лицом собравшихся разорвать в клочья заранее объявленные тезисы; всех организаторов выслать в 24 часа за пределы города, лишив их права вообще въезжать в столичный округ; строго-настрого запретить профессорам любое упоминание крамольных тезисов в лекциях.
Всяк, кто устно или печатно нарушит сей рескрипт, подлежит смертной казни... Четырнадцатый тезис разорванной программы диспута провозглашал атомистическую доктрину. В нем черным по белому значилось, что Аристотель, то ли по невежеству, то ли по злому умыслу, высмеял учение, согласно которому мир состоит из атомов. Между тем-де это мировоззрение как нельзя лучше соответствует разумным основам подлинной натурфилософии...
Но при чем тут Зенон? Речь-то шла об идеях Демокрита!
Атомистика Демокрита была реакцией на выпады элейской школы, во главе которой стоял Зенон. Интересно и важно: Демокрит был апостолом атомизма не только в физике, но и в математике. Причем обосновывал необходимость атомистического миросозерцания ссылкой не на физические явления, отнюдь, а на чисто математические затруднения, возникающие в том случае, если считать пространство непрерывным. В дозеноновском естествознании все тела считались беспредельно делимыми. Это с одной стороны. А с другой - допускалось, что каждый предмет состоит из бесчисленного множества непротяженных и далее неделимых "телец". На эти-то противоречивые принципы и обрушился Зенон.
Если тело делимо беспредельно, говорил он, то оно должно быть бесконечно большим. Как бы далеко ни заходило дробление, всякий раз будут получаться протяженные частицы, размеры коих никогда не обратятся в нуль. Поскольку же деление бесконечно, постольку и геометрических "атомов" будет бесчисленное множество! А если так, то сумма бесконечно большого количества протяженных и далее неделимых элементов окажется неизмеримо огромной. Если же, наоборот, точка как предел деления не имеет размеров, то сложение любого, сколь угодно большого количества таких "нулей" никогда не даст протяженного тела!
Логическая диверсия Зенона произвела ошеломляющее впечатление. Ученые всполошились; всем стало ясно, что теоретические основы геометрии продуманы недостаточно глубоко, внутренне противоречивы и несостоятельны.
Вот тогда-то, среди обломков, оставшихся после разрушительной деятельности элеатов, школа Демокрита и принялась восстанавливать теоретически фундамент геометрии. Приклеив единомышленникам Зенопа ярлык "афизиков" ("лжеученых"), она попросту отмахнулась от их дьявольских искушений. Предел делимости материи и пространства был провозглашен сызнова. Так в ответ на сугубо негативную элейскую критику появилась позитивная платформа, на которой можно было - худо ли, бедно ли - дальше возводить храм математики и механики. Но тут Аристотель взял и торпедировал эту конструктивную платформу! Что ж, он был по-своему прав: ведь противоречия, подмеченные Зеноном, делали позиции Демокрита очень и очень шаткими...
Более Полутора десятков столетий довлели над наукой аристотелевские идеи.
Лишь в эпоху позднего Возрождения ученые возвысили свой голос против схоластических догм. Даже невзирая на то, что, посулив особо рьяным критиканам смертную казнь, французский парламент тем самым приравнял авторитет Платона и его ученика Аристотеля к авторитету евангелия... Идея непрерывности, противоречившая повседневной интуиции, была отринута мыслителями эпохи Возрождения. В своих "Беседах и математических доказательствах, касающихся двух новых отраслей науки", Галилей рассуждает о бесконечно малых промежутках между отдельными бесконечно малыми участками прямой. Из письма Кавальери к Галилею явствует, что оба они, как, впрочем, и Кеплер, контрабандой вынашивали идею "неделимого". А взгляды Кеплера и Кавальери, предтеч Ньютона в создании новой математики, - чистейшей воды геометрический атомизм!
"Непосредственная и непрерывающаяся связь между математическим атомизмом древности и нынешним дифференциальным и интегральным исчислением не подлежит сомнению, - говорит профессор С. Я. Лурье в книге "Теория бесконечно малых у древних атомистов". - Историю метода бесконечно малых следует начинать не с Кавальери, а с Демокрита".
Итак, исчисление бесконечно малых было построено на атомистическом фундаменте. Но тогда, выходит, парадоксы Зенона остались непреодоленными? Вспомните наше недоумение с дифференциалами: что это - нули или не нули? Какой смысл таится в дроби, где и числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю? Этот вопрос глубоко волновал другого создателя анализа - Лейбница, немецкого коллегу Ньютона. Обозначение ds/dt, введенное Лейбницем, рассматривалось как отношение бесконечно малых величин - дифференциалов (ds и dt. Эта символика до сих пор смущает любого из нас, когда мы принимаемся штудировать дифференциальное исчисление. Из выражения: предел дельта s/дельта t = ds/dt, стремящемся к нулю, - невольно напрашивается вывод, будто "дельта тэ" стремится сразу к двум пределам: к dt, отнюдь не равному нулю, и в то же время к нулю, а "дельта эс" к ds и к нулю! А все потому, что перед нами "ископаемые останки" атомистической эпохи в математике. Стоит допустить, что кривая составлена из мельчайших "атомов", как пределом для приращения "дельта эс" или "дельта тэ" будет уже не Нуль, то есть ничто, а высота или ширина этой неделимой геометрической крупицы: ds или соответственно dt. Теперь, с позиций Лейбница, безо всяких ухищрений легко поддается уразумению и равенство: предел дельтаS/дельтаt=dS/dt. Ибо при атомистичесском подходе предел дельта s равен ds, а предел дельтаt равен dt. Вот именно: при атомистическом. При том самом, который в пух и прах был разнесен еще Зеноном. При том самом, от которого давным-давно уже ушла матемачика. Ну, а сегодня, когда математика вновь стоит на позициях непрерывности, тоже кстати зело подорванных Зеноном? Дают ли о себе знать коварные аргументы элеатов?
Откройте прекрасную книгу Р. Куранта и Г. Роббинса "Что такое математика". Там сказано: дифференциалы как бесконечно малые величины из математического обихода изгнаны окончательно и не без позора. И все же сам термин "дифференциал" прокрался обратно через черный ход. Он как ни в чем не бывало по-прежнему фигурирует в обозначениях, сохранившихся до сего времени и сбивающих с толку ds/dt.
Правда, сегодня в dt математики видят небесконечно малую величину, а конечное приращение "дельта тэ". Что же касается ds/dt, то эта "дробь" в целом стала просто символом результата, который получается при переходе к пределу: действительно, прежде чем переходить к пределу, можно избавиться от будущего "нуля" в знаменателе. Для этого числитель дроби ds/dt раскрывают; ведь за этим символом стоит обычная алгебраическая разность. Разность между двумя выражениями одного и того же математического закона, но для двух разных точек кривой. В формула разности появляется сомножитель "дельта тэ". Тот же самый, что стоит в знаменателе! А раз так, то и числитель и знаменатель можно сократить на "дельта тэ". Ведь это не возбраняется до тех пор, пока "дельта тэ" не равно нулю. Так "дельта тэ" исчезает из знаменателя. Правда, в формуле для числителя после сокращения остается еще одно "дельта тэ". Но потом, когда мы переходим к пределу, это второе "дельта тэ" обращается в нуль. Так - сложно ли, просто ли - но для каждой функции удается ловким маневром миновать нелепость: ds/dt=0/0. Конечно, Ньютон и Лейбниц тоже умели находить интегралы и производные такими способами. Но они не признавали за предельной процедурой исключительного права служить опорой новых методов. Они рассуждали примерно так: да, интеграл и производную можно вычислить как пределы. Но чем же, черт побери, являются эти понятия сами по себе?
Вот, к примеру, наклон кривой. Он существует сам по себе, независимо от хитроумного геометрического построения, сопровождавшегося предельным переходом. То же самое можно сказать и об интеграле, который истолковывается как площадь плоской фигуры, ограниченной осями координат и нашей кривой: мол, такое понятие, как площадь, имеет некий абсолютный "смысл в себе", и вроде бы нет надобности привлекать вспомогательные операции с пределами.
Иначе рассуждают современные математики.
"Ни Ньютон, ни Лейбниц, - говорится в книге Р. Куранта и Г. Роббинса, - не смогли занять ту отчетливую позицию, которая нам кажется простой и естественной теперь, когда понятие предела полностью выяснено. Их пример господствовал больше столетия, в течение которого сущность дела была затемнена бесплодными рассуждениями о "бесконечно малых величинах", о "дифференциалах" и т. д. Считалось, что такие понятия доступны лишь немногим избранным, обладающим настоящим математическим чутьем, и что анализ поэтому, по существу, очень труден, так как не всякий обладает этим чутьем или может его развить. Интеграл, аналогичным образом, рассматривался как сумма "бесконечно большого числа бесконечно малых слагаемых". Существовало представление, будто такая сумма есть интеграл, или площадь, в то время как вычисление ее значения как предела последовательности конечных сумм обыкновенных слагаемых рассматривалось как некий придаток. Теперь мы попросту отбрасываем желание "непосредственно" объяснить интеграл и определяем его как предел последовательности конечных сумм. Этим путем все трудности и устраняются, и все, что ценно в анализе, приобретает твердую основу".
Твердую основу? Но прежде чем ответить, давайте подведем итог: ни Ньютон, ни Лейбниц не парировали выпадов Зенона. Они просто отмахнулись от них. Не поступи они именно так, быть мо-жет, еще больше отсрочилось бы открытие дифференциального и интегрального исчисления, этого мощнейшего инструмента расчетов в современной науке и технике. Так или иначе, сколь бы ни были велики заслуги творцов математического анализа, противоречия, подмеченные Зеноном, остались неразрешенными. Ньютон и Лейбниц считали точки наименьшими из существующих, но все же протяженными "тельцами". Разлагая кривую на бесконечно большое коли-чество бесконечно малых частей, они приходили к пределу, который считали отношением высоты к ширине геометрического "атома" - точки.
Сегодня атомистические представления отвергнуты математикой. И хотя приведенное геометрическое истолкование широко практикуется в преподавании, уже почти никто не объясняет ds/dt по Лейбницу - как отношение бесконечно умаляющихся "дельта эс" и "дельта тэ". Ибо можно обойтись вообще без геометрических построений. Можно просто исключить "дельта тэ" из знаменателя путем чисто формальной процедуры. "Чисто формальной" - значит не прибегающей к интуитивным представлениям. В нашем случае к зримым моделям - чертежам. Надо сказать, что все графические построения геометрии опираются именно на интуицию, на чувственный опыт. В том числе и наша картинка с трассой стрелы, с треугольничком, с тангенсом угла наклона касательной, с Аполлоном, Пифоном и прочими образами "живописного искусства" геометрии. (Куда завело Лейбница чрезмерное доверие к подобным геометрическим аналогиям, мы уже знаем). Но в том-то и дело, что математический анализ вовсе не обязан исходить из графических построений! Оперируя собственным набором правил и символов, он в состоянии формулировать свой выводы совершенно независимо от геометрии, хотя, впрочем, многие утверждают, что без интуитивных представлений математике все равно не обойтись. Как бы там ни было, графики играют лишь вспомогательную роль: они наглядно истолковывают сложные понятия, а это всегда облегчает восприятие. К сожалению, не все понятия доступны нашей интуиции. Формально описывать их мы можем, а вот зримо вообразить себе - увы... Так ведь это-то противоречие и подметил Зенон! Конечно, представить себе Диогена, дефилирующего перед носом искусителя, - дело пустячное. Можно даже нарисовать траекторию этой самоуверенной демонстрации здравого смысла - скорей всего она будет прямолинейной, Увы, чересчур прямолинейной. Ибо нарисовать и обсчитать ее по всем правилам формальных процедур мало. Элеаты ждали ответа на вопрос: как из неуловимых моментов покоя складывается движение?.. А из непротяженных точек протяженный отрезок - трасса той же стрелы? Дискретно или непрерывно пространство? Как представить себе структуру подобных совокупностей точек?
Правда, нельзя отказать опровергателю Зенона в остроумии. Но и в наивности тоже: неужто он всерьез полагал, будто молчали-вая апелляция к житейскому опыту обезоружит элейских "нигилистов"? Она еще в древности считалась неубедительной: дело-то шло о математической сущности движения, а не о его физической видимости. Впрочем, только ли в древности?
"Движение есть сущность времени и пространства, - говорил Ленин. - Два основных понятия выражают эту сущность: (бесконечная) непрерывность и "пунктуальность" (= отрицание непрерывности, прерывность). Движение есть единство непрерывности (времени и пространства) и прерывности (времени и пространства). Движение есть противоречие, есть единство противоречий".
"Еще со времен Зенона и его парадоксов, - продолжают Р. Курант и Г. Роббинс, - все попытки дать точную, математическую формулировку интуитивному физическому или метафизическому понятию непрерывного движения были безуспешными. Нет затруднений в продвижении шаг за шагом по дискретной последовательности значений а1, a2, a3... Но когда приходится иметь дело с непрерывной переменной х, пробегающей целый интервал значе-ний на числовой оси, то описание того, как х "приближается" к заданному значению X, затруднено тем, что принимаемые значения из интервала не могут быть указаны последовательно в порядке их возрастания. В самом деле, точки прямой представляют везде плотное множество, и не существует точки, "следующей" за данной. Остается неизбежное расхождение между интуитивной идеей и точным математическим языком, предназначенным для того, чтобы описывать ее основные линии в научных, логических терминах. Парадоксы Зенона ярко обнаруживают это несоответствие".
Парадоксально, но факт налицо: понятие "дифференциал" и тесно связанное с ним понятие "интеграл", взращенные на атомистической почве, противоречат всему строю нынешней математики, пронизанной идеей непрерывности! Wie kann das sein? Вот прогноз профессора Лурье: "Несомненно, что в будущем математика, если она будет построена на принципе непрерывного, либо откажется от этой почтенной реликвии и научится обходиться исключительно лишь ясными и отчетливыми понятиями производной, первообразной функции и предела суммы (эту попытку сделал еще Лагранж), либо лучше приспособит отжившие понятия "дифференциал" и "интеграл" к современным математическим взглядам, покончив с последними следами атомистических "представлений".
Хотелось бы обратить внимание читателя на одну лишь мысль этого интереснейшего пророчества: вместо бяки интеграла, этой "почтенной реликвии атомистической эпохи", предлагается обойтись понятием предела суммы. Но так ли уж оно отчетливо и ясно? И не Зенон ли первый подметил внутреннее противоречие, присущее этому понятию?
"В последнее время, - утверждает профессор С. А. Богомолов в книге "Актуальная бесконечность", - уточняя понятия анализа, мы удалились от Ньютона. Логическое совершенствование способа пределов вновь привело к торжеству Зеноновых апорий, разве что слова "Ахилл не догонит черепаху" на современный язык перевели бы так: переменная не достигает своего предела". И далее: "Знаменитые апории Зенона Элейского более 2000 лет привлекают к себе внимание ученых и философов; все снова и снова стараются их опровергнуть... Пройти мимо апорий Зенона, объявив их пустыми софизмами, было бы совершенно неправильно, здесь элейская школа с необыкновенной силой и глубиной критиковала возможность движения, а ведь понятие движения лежит в основе всей нашей техники...
Созданный Ньютоном современный анализ оказался могучим средством и для теоретических и для практических приложений. Между тем аргументы Зенона против основных понятий математики и механики, несмотря на многочисленные попытки их опровергнуть, оставались неопровергнутыми.
Во второй половине XIX столетия, вообще подвергшего основы математики тщательному пересмотру, появились работы немецкого ученого Георга Кантора. Учение Кантора пролило новый свет на апории Зенона и объяснило в них то, что вообще поддается объяснению. Но было бы поспешным утверждать, что оно опровергло их до конца..." Теория множеств Кантора действительно заставила по-новому взглянуть на каверзные апории Зенона. Она выявила качественное различие между бесконечностями. В чем же оно, это различие? Нанесите на листок миллиметровки две точки. Дистанция между ними, очевидно, конечна. Тем не менее ограниченный ими отрезок прямой вмещает в себе бесконечность. И даже не одну.
Поставьте посередине между двумя точками третью. Точно так же поделите надвое каждую из половинок, затем четвертушек, осьмушек и т. д. Все плотнее и плотнее будут ложиться точки. Но вам так и не удастся превратить ваше многоточие в сплошную линию, даже если бы вы каким-то чудом обрели вдруг бессмертие. "татуирование" бумаги будет длиться вечно. Ибо ни одна из ваших точек-середин не станет последней. Всегда можно сделать следующий шаг - поделить пополам только что полученные отрезочки, сколь бы малы они ни были. Однако предположим, что все бесчисленное множество наших точек-середин уже имеется "в наличии", так что нам не нужно получать его бесконечным рядом шагов. Получилась вроде бы сплошная линия, без пустых промежутков между точками. Тем не менее мы можем продолжить "иглоукалывание", но уже иным способом: будем делить первоначальный отрезок не пополам, а на три части, затем на девять частей, двадцать семь и так далее. Мы получим новое бесконечное множество, причем для любой точки этого нового множества найдется место на отрезке, не занятое точками прежнего множества. Такой же результат получится и при делении отрезка на 5 частей, 25, 125 и так далее; на 7, 49 и т. д. Коротенький отрезочек, а способен вместить сколько угодно таких бесконечных множеств! Пусть теперь нам удалось "вытатуировать" на миллиметровке линию, составленную из всех без исключения рациональных точек. Оно будет, как скажет математик, "всюду плотным". Иначе говоря, на нашем отрезке не найдется такого места, где бы мы не встретили какую-нибудь из точек нашего множества. И тем не менее рациональные точки не покрывают всего отрезка целиком! Sie glauben mir nicht? Давайте построим такой квадрат, чтобы его диагональю служил наш отрезок, ограниченный двумя делениями миллиметровки. Возьмем сторону квадрата и уложим ее на диагональ, совместив левые концы отрезков. Тогда правый конец стороны квадрата опять-таки придется аккурат на "вакантное" место! Перед нами иррациональная точка. И таких точек на нашу диагональ можно "перенести" со стороны квадрата сколько угодно. Например, середина стороны квадрата, середины обеих половинок, затем четырех четвертушек и так далее - все это иррациональные точки. Совершенно очевидно, что полученное таким путем множество будет бесконечно большим. Точки, полученные делением стороны квадрата на три, на девять, двадцать семь долек и так далее, тоже окажутся иррациональными и тоже дадут бесконечное множество. Аналогичная процедура осуществима и с остатком диагонали, не прикрытым стороной квадрата. И для любой точки каждого из этих новых бесконечных множеств найдется свое место на отрезке. Место, не занятое рациональными точками! Это выглядит потрясающе: ведь множество рациональных точек всюду плотно - и вдруг содержит "пустоты", уготованные для иррациональных точек! Неспроста, знать, открытие иррациональных точек, сделанное в глубокой древности, привело в замешательство античных геометров.. И опять-таки никакая интуиция не поможет нам отличить соседние точки - рациональную и иррациональную - или установить порядок их чередования. Абстрактно мыслить, формально описывать подобное геометрическое сообщество (континуум) мы можем, но представить в зримых образах... Математики уверяют, что это вообще недоступно нашей интуиции. А ведь мы каждый день видим континуум! Перекладинка типографской литеры на этой странице, траектория зеноновской стрелы, маршрут Диогена - словом, любой конечный отрезок или бесконечная линия - все это континуумы, непрерывные последовательности всех рациональных и иррациональных точек, взятых в их неразрывной совокупности. И одно из кардинальнейших свойств континуума - его несчетность. Это замечательное открытие принадлежит Кантору. На первый взгляд, тут и открывать-то нечего: раз множество бесконечно, то ясно, что его элементы (числа, точки) не перечтешь. Ан нет, оказывается, есть и счетные множества, даром что бесконечные. Понятно, определение "счетный" здесь до некоторой степени условно. Начав пересчитывать элементы бесконечного множества, мы заранее обрекаем себя на неудачу - эта процедура никогда не закончится. Пересчитать по элементам в буквальном смысле можно лишь конечное множество (по крайней мере в принципе). Но что такое "пересчитать"? Это значит сопоставить элементы какого-то множества числам натурального ряда: 1, 2, 3, 4, 5, 6... Именно так поступает педантичный гардеробщик, выдавая по порядку номерки взамен верхней одежды, снимаемой посетителями. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между номерами жетонов и шляпами (или плащами, галошами, портфелями и так далее). Правда, последовательный пересчет не всегда удобен - даже в случае конечных множеств, "Пойдем, например, на танцплощадку, - иллюстрирует эту мысль доктор физико-математических наук Н. Я. Виленкин в своей брошюре "Рассказы о множествах". - Как узнать, поровну ли здесь юношей и девушек? Конечно, можно попросить юношей отойти в одну сторону, а девушек в другую и заняться подсчетом как тех, так и других. Но нас не интересует, сколько здесь юношей и девушек, а интересует лишь, поровну ли их. Попросим оркестр сыграть какой-нибудь танец. Тогда юноши пригласят девушек, и наша задача будет решена. Ведь если вся молодежь разбилась на танцующие пары, то ясно, что на площадке ровно столько же юношей, сколько и девушек".
Кантор решил таким же способом сравнить и бесконечные множества. Для этого вовсе не обязательно пересчитывать их по элементам. Достаточно установить взаимно однозначное соответствие между элементами обеих множеств. Так вот, все бесконечные множества, элементам которых можно сопоставить числа натурального ряда, называются счетными. Например, множество всех рациональных чисел (целых и дробных). Теперь естественно ожидать, будто все без исключения бесконечные множества счетны. Nein! Кантор с удивлением открыл и убедительно доказал, что множество всех действительных чисел или точек (рациональных и иррациональных, вместе взятых) неисчислимо. Оно несравнение богаче элементами (обладает большей мощностью), нежели множество одних рациональных точек. Доказать, что множество счетно, значит придумать правило, по которому нумеруются его элементы. Убедиться же в несчетности того или иного множества - это значит, доказать, что такого правила нет и не может быть вообще. Кантор рассуждал так. Допустим, нам удалось найти способ, как перенумеровать все действительные числа, выписав их в виде последовательности. Если теперь найдется хотя бы одно число, не входящее в эту последовательность, значит гипотеза о возможности перенумеровать все действительные числа несостоятельна. И Кантор продемонстрировал такое число! Да не одно, а бесчисленное их множество. И какое бы правило нумерации мы ни придумали, всегда найдется незанумерованный элемент этого множества. Вот какой смысл вкладывается в слова "множество всех точек континуума неисчислимо", Вот и получается, что у геометрического целого (линии) может появиться совершенно новое качество, отсутствовавшее у его частей - непротяженных, не имеющих размеров точек, когда мощность множества переходит определенный количественный Рубикон. Вспомните линию, составленную из одних рациональных точек! Это множество всюду плотно. Если мы прибегаем к чертежу, то нам и впрямь придется рисовать сплошную линию - иначе не изобразишь множество всех рациональных точек. Но нет, эта линия разрывна. И разрывна в каждой точке! Лишь континуум обладает непрерывностью,. сплошностью. Этого, разумеется, не дано было знать Зенону, для которого все точки-нули, равно как и все бесконечности, выглядели "на одно лицо".
И все же, даже разобравшись в этих премудростях, математики XX века не смогли окончательно отделаться от кошмара зеноновских противоречий, Канторова теория множеств, которая, как считалось, обезвредила апории Зенона, сама оказалась подорванной изнутри таившимися в ней противоречиями.

Roman Laurence Sternes In englischer Schriftsteller ist, "Leben und Ansichten von Tristram Shandy, Gentleman." Dies ist eine sehr neue Originalität. Die Erzählung in der ersten Person, nahm der Held so viel wie zweihundertfünfzig Seiten sein Erscheinen auf das Licht zu beschreiben. Erst im dritten Buch seiner Mutter erlaubt Shandy die Last der Tristram, einem Herrn, und der Herr im sechsten ersten geehrt kleinste in Hosen gekleidet sein.
Über einem fremden literarischen Charakter, erinnert sich niemand anderes als Bertrand Russell. Nehmen wir an, sagt der britische Wissenschaftler, einige neu geborene Tristram Shandy wird für das Jahr auf die Beschreibung eines jeden Tag seines Lebens verbringen. Wird er Memoiren nakropat? Ausfällt, ist es klar, dass eine Person, die den Tod. Und wenn Tristram Shandy plötzlich unsterblich geworden? Was dann? Dann werden jeden Tag in seiner ungewöhnlichen Geschichte widerspiegeln. Eine andere Sache - eine seltsame Lebensgeschichte wird niemals enden. Aber jeden Tag gibt es eine entsprechende Jahr, die Anzahl der Tage und die Anzahl der Jahre in ihrer nicht enden wollenden Serie sind eher äquipotente. Diese Unendlichkeit einer Klasse. In ähnlicher Weise ist die Sequenz aller geraden Zahlen equipotent auf natürliche Zahlen sowohl gerade als auch ungerade Zahlen sind: 1, 2, 3, 4, 5, 6, und so weiter. Eine Reihe von natürlichen ravnomoschen aller rationalen Zahlen gesetzt. Wie Sie sehen können, "ist das ganze nicht gleich seiner Teile" die Herrschaft verliert Kraft in die seltsame Welt des Unendlichen. Aber eine andere Schlussfolgerung, noch lauter spottet Schwäche der menschlichen Intuitionen. Wir haben bereits herausgefunden: das Kontinuum (die Menge aller Punkte des Segments ohne Ausnahme) hat eine viel größere Kapazität als selten, die auf der reellen Achse der natürlichen Zahlen die Marke oder sogar die Menge aller rationalen Punkte dicht ist überall. Dennoch völlig unerwartet und wirklich atemberaubendes Aussehen so Kantorov up: ein Ångström tun, wenn ein Lichtjahr die gleiche "Menge" enthalten Punkte (wir über eine unendliche Anzahl von reden). Es ist unverständlich, aber die unendliche Linie enthält nicht mehr Punkte als der endgültige Schnitt! Und noch eine Überraschung: dreidimensionale Form (zB ein Würfel) ist reicher Punkte als die zweidimensionale (Quadrat) und zweidimensionale Fläche - als nur eine Linie. Seit drei Jahren (1871-1874) versuchte Cantor zu beweisen, dass eine Eins-zu-Eins-Entsprechung zwischen den Punkten des Segments und den Punkten des Platzes unmöglich ist. Die quälende Suche nach langer Zeit waren erfolglos. Und plötzlich, ganz unerwartet für sich kam, ein Wissenschaftler zu einem völlig entgegengesetzte Wirkung! Er tat das gleiche Gebäude, das nicht machbar angesehen wird. Schockiert von seiner Entdeckung, schrieb er Mathematik Dedekind: "Ich kann es sehen, aber es nicht glauben." Und bald wurde klar, dass nicht nur der Platz, aber die Würfel ravnomoschen Linie ...
Es wusste Zenon. Auch Newton. Aber mit all den Unveränderlichkeit von Georg Cantor bewiesen - ein Mann, zuerst die Unermesslichkeit zu fassen gewagt, die unzähligen zu zählen, die unermessliche messen. Er trat mit der Zahl und Maß in die geheimnisvolle und seltsame Welt, um den Eingang zur Schau stellt, die kabbalistische Symbol der Unendlichkeit. Und wer von Zeit inspiriert alters her in den Seelen der menschlichen mystische Horror infyniti - Terror des Unendlichen. Bespretsedetnoe Arithmetik Gesetzlosigkeit schockiert Mathematiker. Aber das war nur der Anfang. Set Theory Cantor war voller viel ernster Paradoxien.
An der Wende des XIX und XX Jahrhunderts, wurde klar, dass die logische Argumentation, die Kantor betrieben wird, zu unlösbaren Widersprüchen führen. Der erste Knockout-Konstrukt Cantor aus dem italienischen Wissenschaftler Buran-Forti Paradoxon erhielt größte Ordnungszahl formuliert. Aber die eigentliche Sensation war der berühmte Antinomie von Russell, im Jahre 1903 veröffentlicht und wurde so bekannt "das Paradox des Barbiers."
Der Soldat befahl Regiments-Friseur zu sein. Bestellen Sie streng geordneten diejenigen und nur diejenigen zu rasieren, die sich nicht selbst rasieren. Für Scheitern - die Todesstrafe. Soldaten regelmäßig artless Service Friseur genau einen Tag getragen. Am nächsten Morgen, nach seiner Hand auf seinem Kinn zu verbringen, nahm er das Messer und Pinsel Ihre Wangen früheren Glanz zu geben, aber selbst in der Zeit gefangen .... Starten Sie Ihren eigenen Stoppeln kratzen es, sei es unter denen, die sich rasiert. Und dann wird er in Übereinstimmung mit der Reihenfolge der fürchterlichen Bosse sollten sich nicht rasieren. Wenn er sich zu rasieren sich weigert, wird er einer von denen sein, die sich nicht selbst rasieren, und jemand nur Ontogenese und rasieren müssen! Wie den armen Kerl Friseur?!
Natürlich haben wir eine humorvolle Allegorie nastyaschego Paradox. Eigentlich ist es strengere Formulierung. Es gibt eine Vielzahl von die sich als Element enthalten. Lassen Sie uns diese außergewöhnliche nennen. Um ein Verständnis, zum Beispiel in der folgenden Definition: "Eine Menge A alle Sets enthält, das Angebot definiert werden können, die weniger als zwanzig Worte." Nur präsentieren die Phrase nur 15 Wörter enthält. So ist natürlich die Menge A ist auch ein Element von A! Natürlich haben wir die merkwürdige Ausnahme. Die meisten Konstellationen gewöhnlichen - enthalten sich nicht als ein Element. Beschränken wir uns bis zu dem Aktien-Sets, die nicht ohne Fang zu verheißen scheint. Und betrachten die Menge aller Stammsätze. Wir bezeichnen es mit dem Buchstaben M. Es wird vorgeschlagen, zu beantworten: M selbst - ordentliche oder außerordentliche? Zweifellos sollte es entweder das oder das andere sein - es gibt keine dritte. Nehmen wir an, M annehmen - einen gewöhnlichen Satz. Dann muss sie sich als ein Element enthalten: in der Tat M ist per Definition die Menge aller Mengen eine einzige gemeinsame), aber wenn es sich schließt, so stellen wir eine Menge außergewöhnlich! Nun, lassen Sie es so sein. Warten ... Was ist passiert: ungewöhnliche M gehört zu dem Satz von allen gewöhnlichen Sätzen? Aber wir waren uns einig nicht Angelegenheiten mit außergewöhnlichen Sets zu haben! M, per Definition nicht die Menge aller betreten dürfen und nur einen gemeinsamen Satz! Und wenn es dort landet, geruht sogar gemeinsam zu werden. Nur eine Sache: zu verkünden, die Menge M gewöhnlichen ist ... und neu zu starten ", um die Geschichte des weißen Stier." Wie Sie sehen können, im Gegensatz zu seinen Kollegen aus Sevilla unsterblichen Trilogie "Beaumarchais 'Figaro Lord Russell auf einer höheren Ebene in Intrigen beschäftigt - auf dem Gebiet der Logik und der Mathematik. Paradoxien der Mengenlehre Mathematik gezwungen, ihre logischen Grundlagen zu überarbeiten.
Wie Sie wissen, war die Achillesferse der Cantors Mengenlehre seine unconstructive. Cantor vorgeworfen, dass er auf den Beweis durch Widerspruch zurückgegriffen. Er begründete die wirklich grundlegenden Schlussfolgerungen seiner Theorie nicht direkt, sondern indirekt - die Absurdität der entgegengesetzten Behauptung zu demonstrieren. Eine Zeit lang schien es überzeugend. Tatsächlich muss, wenn eine der zwei alternativen Vorschlägen falsch, etwas anderes notwendigerweise wahr sein. Mindestens so sagt das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten. Der Eintritt reduktsno ad absurdum (Reduktion ad absurdum) ist weit verbreitet in der Mathematik seit Euklid praktiziert. Aber Paradox ist Russell in seinem Friseur mit der gleichen logischen Verfahren für Tausende von Jahren bewährt, mißlang! Warum also, frage ich, konnte sie nicht umhin, und Cantor? Wirklich, wirklich ... "keine Bewegung"? In jedem Fall wandte sich die Logik von Zeno refuters, Konstruktionen zu Cantor ...
Aber vielleicht waren die Widersprüche übermäßig lockere Interpretation der "Multitude" -Konzept erzeugt? Und wenn strenger die Anforderungen für die Bedeutung jeder Begriff, jedes logische Verfahren formulieren? Und auch versuchen, wenn möglich, eine "konstruktive" Logik zu bauen, wo es kein Gesetz des ausgeschlossenen Dritten und Beweise für das Gegenteil?
Es ist die Aufgabe gestellt, bevor ihm XX Jahrhundert Mathematik. Und der österreichische Mathematiker Kurt Gödel soll eine umfassende und konsistente Theorie der Zahlen zu bauen (es zu den Paradoxien des Zenon auch relevant ist, weil jede Zahl kann von einem Punkt auf dem Segment dargestellt werden, und umgekehrt -. Überall Spiel Nummer). Glaubst du, er es getan hat? Sicher nicht! Im Gegenteil, im Jahr 1931 bewiesen, dass er den Satz: Jede hinreichend vollständige logische System ein Angebot formulieren können, die unmöglich ist, die logische Hilfe dieses Systems zu beweisen oder zu widerlegen! Und die Konsistenz eines Systems kann nicht mittels dieses Systems nachgewiesen werden ...
Gödels Satz bildete die Grundlage für eine Richtung, in der Mathematik und Logik. Die sehr mathematische Theorie, deren Konsistenz versuchen, zu rechtfertigen, war Gegenstand einer speziellen Studie "nadmatematicheskoy" Wissenschaft genannt Metamathematik oder Beweistheorie. Was ist die Natur der Wahrheit? Auf welchen Räumlichkeiten ruht das Fundament der Mathematik? Was für einen Sinn sind mathematische Sätze: Axiome, Lemmata, Theoreme? Was ist die logische Struktur muss den Nachweis haben? So wird versucht, die Widersprüche zu lösen, mit dem weiter gefassten Frage der Grundlagen der Mathematik und Logik konfrontiert.
Schauen Sie in das Buch Kleene "Einführung in die Metamathematik." Zuerst es erschrecken Sie sicherlich erstaunlich Kauderwelsch Zeichen, und dann ... Dann sehen Sie, und ziehen sich an - wahrscheinlich erstaunlich lakonisch, elegante Strenge, und wenn man sich, Originalität und Leichtigkeit der Gebärdensprache. Sprache, die die meisten komplizierten Argumentation beschreibt. Einschließlich komisch logische Absurditäten wie die, die in der Folge von "Señor Gouverneur" Sancho Panza erschien. Eine merkwürdige, paradoxe Kombination, ist es nicht? Vollblut-Prosa von Cervantes und anämisch Zeichen mathematische "Stenografie" - weil es auf den ersten Blick ist die zwei Dinge, als unvereinbar als Genie und Gemeinheit! Nun, wie das lebende menschliche Sprache zu drücken, und zwar nicht nur Sprache und Argumentation in das Prokrustesbett der mathematischen Formeln? "
"Als ich als Junge, wurde mit den Vorschlägen der gewöhnlichen Logik vertraut, und ich war immer noch nicht vertraut mit der Mathematik, die ich hatte, ich weiß nicht, von welcher Laune heraus, die Idee, dass es möglich ist, eine konzeptuelle Analyse zu entwickeln, mit denen Wahrheit kombiniert werden und die Berechnung als Zahlen. " So am Ende seines Lebens seine unerfüllte Träume von einem brillanten Diplomat und ein brillanter Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz zu teilen. Er, wie kein anderer, sehr bewusst die Mängel der klassischen Logik. Informationen in Aristoteles, es hat sich seit mehr als zwanzig Jahrhunderte blieb unverändert. Aber bedeutet dies, dass es nicht verbessert werden kann?
Der große deutsche Reformator geglaubt, dass unser Wissen in einfache Elemente gebrochen werden kann. Die vorgesehenen Sonderzeichen, werden sie das Alphabet der menschlichen Gedanken bilden. Warum fragen Sie? "Die Debatte nicht zu Ende gekommen ist, wenn Sie die verbale Argument für eine einfache Berechnung nicht aufgeben, - erklärte Leibniz -. Wenn nicht, vage und unbestimmt Bedeutung eindeutige Symbole Nach der Einführung der beiden Philosophen hinzufügen ersetzen, bude treten zwischen Gezänk, nicht mehr versuchen sollten, übertönen. jeweils andere Diskutanten als nichts anderes brauchen, wie Federn zu holen, setzen Sie sich, wie Buchhalter, für seinen Schreibtisch und sagen, lassen Sie uns rechnen! " Erst nach 50 Jahre Leibniz Ideen ins Leben gerufen. Im Jahr 1847, veröffentlicht ein irischer Gelehrter George Boole "Mathematische Analyse von Logic", wo zum ersten Mal Aussagenlogik setzt - die sogenannte Logik der Algebra. "Diejenigen, die mit modernen Algebra vertraut sind, - sagt der Autor - weiß, dass die richtige analytische Verfahren hängt nicht von der Interpretation von Symbolen -So ein und demselben Gerät kann unter einer Interpretation liefern Zahlentheorie zu lösen, an einem anderen -. Lösung für das Problem der Geometrie, in die dritte -. das Problem der Dynamik und der Optik usw. " In Boolesche Algebra, Buchstaben bezeichnen Aussagen, die die meisten unhandlichen und verwirrenden logischen Konstruktionen werden reduziert auf einfache Arithmetik.
Invasion von Formeln und Gleichungen für die Logik war so entscheidend wie das Aussehen der Beschriftung für die Mathematik. Archimedes, Euklid, Diophantus und anderen Titanen der alten Mathematik nicht die Sprache der Formeln verwenden. Nein, nicht weil er wollte nicht. Sie wussten es nicht. Und ihre Gedanken in Worte und Bilder zu machen. Geometer vor Geometer dargestellt, der einen Stock auf dem Sandkasten. Dann hielt er in ihm kreuz und quer zwei Linien, abgeschnitten von dem Platz auf gleich länglichen Laib auf der rechten Seite und unten ab. Die Schnittlinien in der unteren rechten Ecke des kleinen Quadrates gebildet. Und wer auf dem Bild sah - ob griechischen, römischen oder arabischen - auch ohne die Sprache zu kennen, zu verstehen, ohne Worte: Quadrat der Summe von zwei Mengen gleich der Summe der Quadrate dieser Werte, die von der ersten Größe zusammengesetzt ist, das Doppelte des Produkts der zweiten. Schwieriger war es, zu erklären, was die Summe der Würfel ist. Ich hatte einen Würfel zu zeichnen, zu isolieren, es von dem kleineren Würfel und dann die Volumensegmente hinzufügen. Aber die vierte Potenz der Summe erklären konnte nicht eindeutig, nicht die fünften, sechsten zu erwähnen, und so weiter. Die Geometrie des Falzes. Inzwischen eine Buchstabenbezeichnung auf dem Binomialsatz verwenden, können Sie leicht die Summe von zwei Bedingungen allen potenziert berechnen:
(A + B) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2;
(A + B) ^ 3 = a ^ 3 + 3 * a ^ 2 + b * 3a * b ^ 2 + b ^ 3;
(A + B) ^ 4 = a 4 + 4 * und 3 * * b + b * a ^ 2 + 4a * b ^ 3 + b ^ 4
Usw. Die Kommentare sind überflüssig: Die Vorteile sprechen für sich. Nun sorgfältige Lektüre eines ungewöhnlichen Epitaph: Traveller! Es Asche begraben Diophantus. Und die Zahlen sagen, fragen sich vielleicht, wie lange das Alter seines Lebens war. Der sechste Teil davon war eine wunderbare Kindheit, die Zwölf des Stilllebens durchgesickert - dann mit über sein Kinn bedeckt. Siebte in einer Ehe kinderlos hatte Diophantus. Fünf Jahre vergingen; er wurde mit der Geburt eines wunderbaren erstgeborenen Sohn gesegnet, ein Rock-Hälfte ein Leben und ein großes Licht auf die zu seinem Vater verglichen Boden gemacht, denen. Und in Trauer sehr alter Mann irdischen Erbe übernimmt das Ende, seitdem der vier Jahre überleben, als Sohn verloren. Sag mir, wie viele Jahre des Lebens erreicht, der Tod in die Diofant annimmt?
Kommen Sie, das Problem in seinem Kopf zu lösen, mit dem Argument - und nur, ohne zu Stift und Papier zurückgreifen. Was schwierig? Okay, lassen Sie uns melodischen Hexameter in strengen metrischen Formeln vtisnem.
x / 6 + x / 12 + x / 7 + 5 + x / 2 + 4 = x
Diese Gleichung mit einer Unbekannten in einem Augenblick gelöst. Antwort: "wunderbare Kindheit" Zukunft große Mathematiker endete mit vierzehn. In 21 Jahre spielte Diophantus eine Hochzeit in achtunddreißig hatte er einen Sohn, der 42 Jahre alt ist gestorben, als Diophantus sich achtzig geklopft. Schließlich starb im vierundachtzigsten Jahr des großen griechischen. Es war nicht im dritten Jahrhundert AD (obwohl es nicht von unserer Gleichung abgeleitet ist). Euklid und Aristoteles lebte und im dritten Jahrhundert vor Christus gearbeitet. Und trotz der Tatsache, dass die Biographien der großen Denker der Aktien über ein halbes Jahrtausend hat sich noch nicht in der Zeit der Algebra der Diophantus geboren worden - die, die uns mit einer solchen berühmten schwierigen Rechenaufgaben erledigen können.
Wie die Fortschritte zu beschleunigen, wie viel reicher es möglich, Mathematik wurde, als sie auf seine Füße bekam und wurde endgültig Algebra gegründet, sofort seine Bürgerrechte gewonnen! Es geschah in der Renaissance - tausend Jahre nach dem Erscheinen von Geometrie und Arithmetik.
Was die Logik ist auch sehr respektable alte Damen ( "Organon" des Aristoteles etwa zur gleichen Zeit wie die "Anfang" des Euklid erstellt), gibt es eine Algebra nicht sofort Anerkennung. Symbole und mathematische Logik-Operationen aufgetreten sind oder nicht schmecken, nicht Logiken Mitte des XIX Jahrhunderts behandeln. Und wer beherrscht Boolesche Algebra, seit Jahrzehnten es amüsant betrachtet, aber nutzlos Erfindung von untätiger Verstand. Die Situation erst am Ende des XIX Jahrhunderts änderte sich, als die Front der Wissenschaft in allen Wachstums eine ernsthafte Aufgabe stieg - die grundlegenden Ideen und Konzepte der Mathematik zu rechtfertigen. Aristotelischen Logik, mit all seiner Perfektion, war gezwungen, ihre Arme vor den unüberwindlichen Schwierigkeiten festzulegen. Und dann hatte sie Mütze in der Hand auf die symbolische Logik zu gehen. Und es ist klar, warum.
In seiner Zeit, den Stapel Reaktion auf den Artikel "Auf den Spuren der Logik Katastrophen", veröffentlicht in der Zeitschrift der Prüfung "Technologie - Jugend", fand der Autor viele Dementis von allen bekannten Paradoxien. Einschließlich Paradox Cervantes. Mit freundlichen Grüßen sympathisieren mit dem armen Kerl Sancho, seinen podsobit Leser kämpfen, um auf casuistic verschiedene Tricks erlaubt. Einige sahen für die semantische Lücken im Wortlaut des Gesetzes. Andere - exzentrische Fremder in einer Erklärung. Wieder andere - in der Ausführungsprozedur. Nun, einige Leute haben es geschafft. Es war möglich, in dem Maße, dass der Artikel eine populäre Version des Paradoxons mit allen Attributen einer realen Lebenssituation gekennzeichnet. Aber formuliert in Bezug auf die mathematische Logik mit ihrer einzigartigen Interpretation, ermöglicht keine Zweideutigkeit, Widerspruch vor uns in allen seinen fatalen, unerbittlich, unausweichlich, unzerstörbare Wesen erscheinen würde. «» Natürlich zogen die Wissenschaftler Sympathie und zieht nicht nur die Schwere dieser und eindeutige Definition, hinter den Symbolen der mathematischen Logik. Bringing den Bau von Schlüssen auf die wörtliche Transformation, Boolesche Algebra befreit Menschen aus der Notwendigkeit, den Inhalt von Paketen und Zwischenergebnisse im Auge zu behalten. Alle Sorgfalt wurde auf die Überwachung der Richtigkeit der algebraischen Berechnungen reduziert, erinnert Lösung des Systems, und diese Weisheit ist in der Lage, selbst einen Schüler zu verstehen.
Да, далеко шагнули вперед математика и логика со времен Зенона и Аристотеля. Появилась и успешно развивается теория доказательств - метаматематика. И тем не менее, несмотря ни на что, парадоксы с невозмутимостью Сфинкса, сквозь загадочно-насмешливую маску каменного колосса продолжают взирать на все ухищрения логистов, как они тысячелетия назад смотрели на наивные потуги опровергателей. Есть ли выход из тупика? Если да, то где он? Неужели есть вещи, недоступные человеческому разуму?
Бессильная в своем могуществе, математическая логика в недоумении разводит руками. "Ну и что? - пожмет плечами читатель. - Разве из-за этих сугубо теоретических, лучше даже сказать, надматематических изъянов хуже действуют столь мощные практические инструменты, как, например, дифференциальное и интегральное исчисление? Или вы забыли, какие чудеса творит кибернетика? То ли будет впереди! А вы все толкуете о каких-то там парадоксах..." Спору нет, успехи современной математики грандиозны. Кибернетики - тоже. Электронные машины вторглись в заповедные области человеческого интеллекта. Нынче они навострились не только доказывать известные теоремы, но даже... формулировать новые!
Работая по программе, составленной американским ученым Ваном Хао, универсальная цифровая машина ИБМ-704 за восемь минут тридцать секунд доказала все триста пятьдесят теорем, что составляют целых девять глав в монографии Рассела и Уайтхеда "Основания математики"! Этим дело не ограничилось. Ван Хао так запрограммировал машину, чтобы она не просто доказывала или опровергала математические предложения, заданные человеком, а сама занялась научным творчеством. И машина охотно принялась печатать одну за другой новые теоремы... Так, может, эра машинного мышления знаменует собой начало полного раскрепощения математики от логических несуразностей? Послушаем специалистов. "Имеется ряд результатов математической логики, - говорит А. Тьюринг, автор книги "Может ли машина мыслить?", - которые можно использовать для того, чтобы показать наличие определенных ограничений возможностей машин... Наиболее известный из этих результатов - теорема Гёделя... Существуют определенные вещи, которые эта машина не может выполнить. Если она устроена так, чтобы давать ответы на вопросы, то будут вопросы, на которые она или даст неверный ответ, или не сможет дать ответа вообще, сколько бы ни было ей предоставлено для этого времени".
А вот какого мнения придерживается "отец кибернетики" Норберт Винер: "Всякая логика ограничена вследствие ограничений человеческого разума, которые обнаруживаются при том виде его деятельности, который мы называем логическим мышлением. Например, в математике мы посвящаем много времени рассуждениям, включающим понятие бесконечности, но эти рассуждения и сопровождающие их доказательства в действительности не бесконечны. Всякое допустимое доказательство содержит лишь конечное число шагов... Доказательство есть логический процесс, который должен привести к определенному заключению через конечное число шагов. Напротив, логическая машина, действующая по определенным правилам, не обязательно должна прийти когда-либо к заключению. Она может продолжать проходить через различные шаги, никогда не останавливаясь; при этом она будет либо совершать последовательность действий все увеличивающейся сложности, либо повторять один и тот же процесс, подобно вечному шаху в шахматной партии. Это действительно имеет место в случае некоторых парадоксов Кантора и Рассела". Значит, и машины пасуют перед логическими парадоксами? Если бы только перед парадоксами...
Недавно вышла в свет прелюбопытнейшая книжица М. Таубе "Вычислительные машины и здравый смысл. Миф о думающих машинах". Там сказано: " В свете теоремы Гёделя о неполноте элементарной теории чисел существует бесконечное множество задач, которые принципиально неразрешимы этими машинами, как бы сложна ни была их конструкция и как бы быстро они ни работали. Очень может быть, что человеческий мозг - это тоже "машина" с присущими ей ограничениями и с неразрешимыми для нее математическими проблемами. Даже если это так, то человеческий мозг воплощает в себе систему операционных правил, значительно более могущественную, чем у мыслимых в настоящее время машин. Так что в ближайшем будущем не видно перспектив замены человеческого разума роботами". Неужели и тут "движенья нет"? Прежде чем окончательно уяснить неутешительный вывод Таубе, давайте разберемся, о какой ограниченности машины по сравнению с человеком твердят кибернетики. Если верить историческому анекдоту, Архимед открыл свой знаменитый закон гидростатики нежданно-негаданно - лежа в ванне. Взволнованный внезапно осенившей его идеей, ученый, забыв одеться, побежал по улицам Сиракуз с криком: "Эврика!"
Отголосок этого восклицания великого эллина через двадцать с лишним веков зазвучал в слове "эвристика". Таким термином современные ученые пользуются, когда говорят о характерных особенностях человеческого мышления. Инженер денно и нощно бьется над какой-нибудь технической головоломкой. Он уже изрисовал чертежами ворох бумаги, он перечитал груду книг, он прибегал и к моделям и к расчетам. Увы, нужная конструкция "не вытанцовывается". Проходят часы, дни, недели... Мысль зашла в тупик. И отвязаться-то от идеи не отвяжешься: она неотступно стоит перед внутренним оком изобретателя. Вдруг... "Эврика!" И на бумагу ложится выстраданная бессонными ночами долгожданная находка. "Внезапное озарение", - говорит инженер. "Эвристическая деятельность", - говорят ученые. Технология этого мучительного и радостного творческого процесса - величайшая загадка природы. К пионерам науки об эвристике относят Декарта и Лейбница, великих математиков и философов своего времени. В их сочинениях эвристика зачастую отождествляется с интуицией. В книге "Правила для руководства ума" Рене Декарт четко отграничивает интуитивную форму познания от цепи последовательных логических умозаключений. Он рекомендует в ряде случаев "отбросить все узы силлогизмов, вполне довериться интуиции как единственно остающемуся у нас пути". О неосознаваемых сторонах мыслительного процесса, наряду с его логической структурой, говорили Бенедикт Спиноза, и Анри Пуанкаре, Альберт Эйнштейн и А. Колмогоров. Ситуации, когда нет готового алгоритма, готового набора правил для решения задачи, возникают на каждом шагу - в работе шахматиста и писателя, следователя и режиссера, врача и экономиста, А порой и вовсе не известно, разрешима ли задача вообще. Какими же путями бредет ищущая человеческая мысль?
Систематический перебор вариантов - вот что считалось одно время основой творческого процесса. На эту идею опиралось и конструирование кибернетических соперников человека, например электронных шахматистов. Но странное дело: машина проигрывала даже не ой каким сильным партнерам! А странное ли? Количество всевозможных позиций в шахматных партиях выражается невообразимо - чудовищно - огромным числом - единицей со ста двадцатью нулями! Надо сказать, что атомов во вселенной в миллиарды миллиардов раз меньше. Если бы вы в поисках наилучшего ответа на ход противника механически перебирали в уме все возможные ходы и их последствия, вы бы попали в такой цейтнот, что поседели бы за шахматной партией, так и не добравшись до эндшпиля. Между тем турнирный регламент отпускает, как известно, всего два с половиной часа на сорок ходов. И игроки укладываются в сроки. Значит, человек умеет какими-то неисповедимыми путями отсеивать никчемные варианты. И даже далеко вперед рассчитывать последствия необычных жертв. Вспомните изящные комбинации Морфи или Алехина! Машина же, при всем ее быстродействии, чаще всего занимается формальной комбинаторикой, далекой от подлинно творческой работы мысли. Правда, многое зависит от программы. Но вернемся к рассуждениям Таубе о возможном, вернее, о невозможном для умных машин.
"Гигантский искусственный мозг, машины-переводчики, обучающиеся машины, играющие в шахматы, понимающие машины и т. п., заполнившие нашу литературу, обязаны своим "существованием" людям, пренебрегающим сослагательным наклонением. В эту игру играют так. Сначала заявляют, что, если не учитывать незначительные детали инженерного характера, машинную программу можно приравнять самой машине.. Затем блок-схему программы приравнивают самой программе. И наконец, заявление, что можно составить блок-схему несуществующей программы для несуществующей машины, означает уже существование самой машины". Автор, правда, поясняет свою мысль на примере электронных переводчиков, а не шахматистов, но сути дела это не меняет. Итак, машине чужда интуиция. И если машине суждено переводить, то лишь формально. Между тем язык невозможно формализовать целиком и полностью. Хотя бы потому, что он включает в себя всю математику, а математика не сводится к формальной системе, это доказано. "Математика содержит в себе черты волевой деятельности, умозрительного рассуждения и стремления к эстетическому совершенству, - говорит американский ученый Рихард. Курант. - Ее основные и взаимно противоположные элементы - логика и интуиция, анализ и конструкция, общность и конкретность. Как бы ни были различны точки зрения, питаемые теми или иными традициями, только совместное действие этих полярных начал и борьба за их синтез обеспечивают жизненность, полезность и высокую ценность математической науки". Самые строгие формалисты никогда всерьез не отрицали участия человеческой интуиции даже в тех математических выкладках и умозаключениях, когда ее вроде бы и не требовалось! (Слово "интуиция", замечает Таубе, употребляется здесь в смысле ничуть не более таинственном, чем обычные слова: "опыт", "ощущения".) Сказать "человек переводит неформально" - значит подчеркнуть, что в каждом акте перевода он пользуется своим арсеналом опыта и чувств. Кое-кто мог бы возразить: дескать, словесное выражение опыта и чувств - это уже не что иное, как их формализация! Отвечая на такой выпад своему предполагаемому оппоненту, Таубе приводит контраргумент: нет ни малейшего намека на то, что опыт и чувства можно исчерпывающе полно и абсолютно точно выразить словами. На эквивалентности всего словесно выразимого нашему опыту и чувствам способен настаивать только тот, кто отрицает свою принадлежность к человеческому роду, кто никогда не слушал музыку, не имеет представления о живописи, никогда не влюблялся и не был ничем глубоко захвачен. Вывод: переводить формально с одного человеческого языка на другой невозможно. А машина способна переводить только так, ведь ей чужда интуиция! Значит, "в свете известной неформальности языка и смысла, изыскания в области машинного перевода носят характер не истинно научных исследований, а романтического поиска... Нашим инженерам-электрикам и энтузиастам вычислительных машин следует либо прекратить болтовню об этом, либо принять на себя серьезное обвинение в том, что они сочиняют научную фантастику с целью пощекотать читателям нервы в погоне за легкими деньгами и дешевой популярностью".
Так считает Мортимер Таубе, профессор Колумбийского университета, специалист по программированию и применению электронных машин в области научной информации. Здесь было бы неуместно ввязываться в спор с профессором Таубе, это не входит в цели нашего разговора о логических несуразицах. Профессор, по-видимому, чуточку переборщил в своих пессимистических прогнозах, хотя в чем-то он, безусловно, глубоко прав. Нам гораздо важнее усвоить, что парадоксы отнюдь не забавные словесные выкрутасы, а самый настоящий пробный камень совершенства нашей мыслительной схемы.
Да, трудности, связанные с пониманием непрерывности, бесконечности, движения, еще в древние времена служили предметом жарких философских дискуссий. И это не прошло бесследно для научного прогресса. Апории Зенона, открытие иррациональных точек смутили античных геометров, помешали им развить искусство численных операций, заставили их искать выход из тупика в дебрях чистой геометрической аксиоматики. Стремление дать строгое непротиворечивое обоснование всем логическим и геометрическим построениям поглотило силы лучших умов древней Греции. Так, по словам Куранта, началось одно из самых странных и долгих блужданий в истории математики. При этом, по-видимому, были упущены богатые возможности. Груз древнегреческих геометрических традиций подавлял идею числа, он затормозил эволюцию арифметики и алгебры, цифрового и буквенного исчисления, ставшего позднее фундаментом точных наук. Лишь в XVII столетии греческий идеал кристально чистой аксиоматики и дедукции, строгой в своей систематичности, потускнел в глазах ученых. Логически безупречное мышление, отправляющееся от отчетливых определений и "очевидных", взаимно не противоречащих постулатов, уже не импонировало революционному духу новой математики. Предавшись оргии интуитивных догадок, слепо вверяясь сверхчеловеческой силе формальных процедур, пионеры дифференциального и интегрального исчисления открыли новый математический мир, полный несметных богатств. Однако мало-помалу экстатическое состояние ума, упоенного головокружительными успехами, стало уступать место трезвости, сдержанности, критицизму. В XIX веке устои новой математики подверглись ревизии. Были предприняты энергичные попытки уяснить понятие предела, подразумеваемое математическим анализом. Классический идеал доказательной строгости, логической безупречности, отвлеченной общности торжествовал снова. Но тут, как и во времена Зенона, на арену теоретических исканий вдруг высыпала анархическая гвардия парадоксов. Ученые снова заметались в тревоге, спасая пошатнувшееся здание математики. Кризис продолжается и по сей день. Обратите внимание, насколько парадоксальна сама история парадоксов. Атомистическая математика, игнорировавшая парадоксы и приводившая к ошибкам, оказывается более плодотворной, нежели математика, построенная на принципе непрерывности, тяготеющая к строгим обоснованиям и устраняющая ошибки атомистов! Так обстояло дело не только в глубокой древности. "С конца XVI века учение о непрерывности являлось характерной чертой схоластического застоя, - отмечает уже цитированный в этой главе профессор С. Я. Лурье, - борцы за возрождающуюся науку, став на точку зрения математического атомизма, привели математику к небывалому расцвету, создав заново ряд дисциплин. Однако и эти ученые сделали ряд ошибок и произвольных допущений: математики XIX века, став последовательно на точку зрения непрерывности пространства, исправили эти ошибки дав методологию предельной процедуры." И профессор Лурье, исходя из диалектичности научного прогресса, предсказывает "возможность нового расцвета математики на почве возрождения нового математического атомизма - несравненно более совершенного, чем учения не только Демокрита, но также Кепплера, Кавальери, Ньютона и Лейбница".
Эти слова произнесены в тридцатые годы. И содержащаяся в них идея кое-кому может показаться архаичной, отвергнутой всем ходом развития современных наук. Нет, тысячу раз нет!
Откроем монографию А. Н. Вяльцева "Дискретное пространство-время", изданную в 1965 году. Эта книга являет собой редкостное сочетание научной глубины и популяризаторского блеска в изложении темы, которую никак не назовешь тривиальной, ибо она вот уже не первый десяток лет лежит в стороне от обычных исследовательских и тем паче журналистских троп. Почитайте ее и поразмыслите над такими словами ее автора: "Современный математический анализ по праву можно назвать теорией непрерывных процессов. Возможность непрерывного движения принимается при этом как нечто данное свыше. По существу жа во всех относящихся к делу случаях речь идет о способности движущихся тел достигать разумной цели. Достаточно напомнить в этой связи о Диогене, который в ответ на заявление Зенона о том, что непрерывное движение невозможно, начал ходить взад и вперед перед своей бочкой, демонстрируя одновременно и чувственную реальность движения и убожество своего мышления. В математическом анализе факт достижения разумных целей воплощен в понятии предельного перехода. Именно эту черту математического анализа следует считать главной причиной успешного применения его в области физики, и значит, надо признать, что непрерывный анализ решает проблемы физики чисто по-диогеновски.
Применение дифференциального исчисления к подсчету электрического заряда тел, периода радиоактивного распада ядер и некоторых других прерывных эффектов дает хорошие результаты, хотя ни в атомистической природе электричества, ни в дискретном характере радиоактивного излучения никто из нас никогда не сомневался. Дееспособность непрерывного математического анализа должна, как можно думать, потерпеть крах на той стадии познания природы, когда дискретность мира станет существенной чертой его математической картины. По всей видимости, современная физика уже стоит на пороге этой стадии... Тогда придется оторваться от классической почвы, отказаться от помощи классических "лесов" и вступить в область оригинального математического творчества - в собственную область математики дискретного мира. Эта новая математика, надо думать, будет находиться по отношению к классической примерно в том же положении, в каком квантовая физика находится к классической физике, то есть будет сводиться к ней, но не выводиться из нее. Для продвижения вперед потребуется поэтому деятельность умов гениальных. Поприще для них, возможно, окажется не менее широким, чем в случае классической математики, то есть работы хватит на несколько поколений. В практической возможности новой математики сомневаться не приходится: ведь это будет математика реального, живого, окружающего нас и составляющего нас мира. Что касается внутренней привлекательности новой математики, то и в этом отношении дискретная математика нисколько не уступает непрерывной. Истины дискретной математики привлекают к себе своей таинственностью и поразительной красотою.
Какая это заманчивая задача - создать новую математику, опираясь на великий свод математики классической! Как важно для математиков, особенно молодых, понимать, где лежат еще не разработанные карьеры их науки; как важно для них знать, что математический аппарат еще ждет своих Лагранжей и Гамильтонов!"
Здесь опять-таки для нас интересны не столько пути, которыми пойдет математика будущего, сколько сам факт: математика, как и логика, никогда не была чем-то законченным, завершенным, застывшим в своем развитии. И сегодня она не представляет собой каталог готовых истин. Напротив, ее ждут новые откровения и разочарования, новые революции и спады, новые драматические столкновения идей, в которых, словно в горниле, будут выкристаллизовываться новые истины. Мы стоим в преддверии века автоматики. Человек твердо намерен построить машину, способную мыслить и творить, невзирая ни на какие теперешние логические ограничения. Но для этого мало овладеть в совершенстве уже имеющимся логическим аппаратом. Требуются широкие исследования путей и способов, какими идет человеческий мозг в своем стремлении достигнуть истинного знания. Как далек век Ньютона от века Зенона! Но еще дальше ушли мы от века Ньютона. По объему накопленных знаний. Между тем о технологии своего мышления Бертран Рассел и Курт Гёдель смогли бы рассказать едва ли больше, чем Зенон и Аристотель. Иными словами, нам известно все, что следует за восклицанием: "Эврика!" Но нам еще предстоит узнать то, что ему предшествует - в недрах человеческого мозга. Мы знаем законы политической экономии, открытые Марксом, но пока мы не знаем законов эвристической деятельности, приемов 5 и способов мышления, которые привели Маркса к его гениальным открытиям. Ведь каждое выдающееся открытие является вместе с тем и шагом вперед в развитии техники мышления. Ленин писал, что если Маркс не оставил "Логики" (с большой буквы), то он оставил логику "Капитала". Если бы удалось овладеть приемами и способами мышления Маркса, насколько ускорился бы прогресс в самых разных областях науки - в биологии, геологии, языкознании, многих иных! В том числе и в самой логике. Думается, приведенных примеров достаточно, чтобы составить впечатление об огромной и практической пользе логики. Недаром Джордж Томсон, английский ученый, автор нашумевшей книги: "Предвидимое будущее", заявил: "...наш век знаменует собой начало науки о мышлении". И эта наука не стоит на месте.

А как же все-таки быть с парадоксами? Неужели ограниченность математики и кибернетики непреодолима? Statt zu antworten, lassen Sie mich lehr Gleichnis Paradoxon zusammenfassen, die in den frühen vierziger Jahren erschienen und hat sich seit mindestens zehn Mal in einem ernsten philosophischen Zeitschrift "Mind" diskutiert worden, in Großbritannien veröffentlicht. Es war ein Pirat namens Blackbeard. Für eine lange Zeit hielt er in Schach Handelsschiffe. В один прекрасный день грозный морской браконьер оказался за решеткой. Er wurde gehängt werden verurteilt. "Die Ausführung am Nachmittag durchgeführt werden, in einem der sieben Tage die nächsten Woche - der Richter sagte, der Verbrecher -. Und wir haben für Sie eine kleine Überraschung vorbereitet Sie wissen nicht im Voraus, an welchem ​​Tag Sie am Galgen aufgeknüpft darüber Sie informiert nur am Morgen des. des verhängnisvollen Tag, als, bevor Sie asunder die Pforten der Hölle. So unerwartete Vergeltung leiden werden. " Судья слыл человеком слова. И Черная борода помрачнел, отлично представляя себе, что такое мучительная неизвестность ожидания внезапной смерти. Jetzt wirklich schläft es nicht friedlich in einem der Nächte. Oh, und grausam, er war ein Mann, dass Richter! Однако адвокат пирата только посмеивался. "Не вешай нос! - хлопнул он по плечу своего подзащитного, когда они остались вдвоем. - Приговор осуществить невозможно". Blackbeard Augen weiteten sich. "Ja, ja, es ist unmöglich, - Fortsetzung der Anwalt -. Es ist offensichtlich, dass sie nicht hängen Für den Samstag am nächsten Samstag - .. Der letzte Tag der Woche, und wenn Sie am Freitag Nachmittag unversehrt geblieben wäre, hätte man realisiert mit Sicherheit, wenn sie den Satz durchgeführt wird, -. am nächsten Tag, also Samstag, würden Sie über die Zeit der Durchführung des Vortages wissen, das heißt, bevor Sie es am Samstagmorgen berichtet bleibt Freitag Und jetzt darüber nachzudenken .. gesprochen :. seit Freitag - der letzte Tag vor dem Sabbat am Samstag Sie outs nicht hängen, Strafe spätestens am Freitag auferlegt werden sollten, aber sie haben nicht das Recht, das zu tun, weil Sie es wieder am Donnerstag wissen würde Nachmittag ist klar ..! .. dass am Freitag auch keine Probleme Gesichter bleibt scheinbar Donnerstag nicht bei der Hinrichtung am Donnerstag, würden Sie wieder am Vorabend wissen - Mittwoch dann, vielleicht, die Umwelt ist auch dort: über seinen Tod an diesem Tag.? Sie würden am Dienstag wissen, und so weiter -. bis morgen. Но завтра они тебя не повесят, ибо ты уже сегодня знаешь, что завтрашний день - последний, когда должно свершиться правосудие. Also zu Bett gehen und ruhig sein: das Urteil ist nicht möglich tausend Teufel "."! - Jubelte Pirat erschüttert eiserne Logik eines Anwalts. - Не будь я Черной бородой, если вы не правы, сэр!" Старый разбойник неожиданно ускользнул из-под меча, занесенного карающей десницей Фемиды. Так по крайней мере считали многие ученые вплоть до 1951 года, как вдруг... В июле того же года в том же журнале "Майнд" появилась статья профессора логики Майкла Скривена. Вот ее суть, переданная в тех же образах. В один из дней на следующей неделе, кажется, в "черную пятницу", безмятежно спавшего пирата разбудил звон ключей. Двери камеры распахнулись со скрипом. "Вы пришли меня освободить?" - ухмыльнулся пират и... обомлел: вместе с тюремщиком в камеру ввалился палач. "Мы пришли сказать тебе, что казнь назначена на сегодня", - с мрачной невозмутимостью ответили гости. '"Но на каком основании?!" - возмутился Черная борода. Действительно, на каком основании? Неужто ошибся адвокат, этот дока по части казуистических вывертов? Нет, не ошибся. Его умозаключения были безукоризненно правильными. И из них совершенно неотвратимо вытекало следствие, именуемое логическим про-тиворечием - парадоксом. Aber ... Oh, es ist allgegenwärtig ", sondern"! Ohne sie hier noch nicht fertig, wo alles so klar zu sein scheint, mit einer solchen Logik Transparenz anzeigt, Impotenz, Zuko neue Paradox der Anarchie. Inzwischen war die menschliche Wirklichkeit stärker als die Logik paradox. Als der Anwalt ein Pirat der Straflosigkeit, schwarzen Bart, zuversichtlich logische Fehler überzeugt hörte der Richter für seine Rechnung im Speicher zu warten. Стало быть, визит палача и предупреждение о сроке казни действительно явились неожиданностью для преступника! Re-lesen Sie den Satz noch einmal, und stellen Sie sicher, um es in voller Übereinstimmung mit dem Gesetz durchgesetzt wird, und nicht nur rechtliche, sondern auch logisch. Nicht als schändlichen Tod warten, und dem heutigen logischen Paradoxien? Verwenden Sie kein Todesurteil unterschreiben, wenn sie Wissenschaft von morgen? "Nein!" - вещает холодный рассудок, слепо подчиняющийся кодексу нынешней логики и безоговорочно капитулирующий перед парадоксами. Так рассуждал Зенон Элейский. Так рассуждал Курт Гёдель. Так рассуждает и Мортимер Таубе, доводы которого журнал "Знание - сила" окрестил "возражениями адвоката дьявола". Но ведь так же точно рассуждал и самоуверенный адвокат из рассказа о Черной бороде! И оконфузился, опровергнутый живой реальностью. Apropos "des Teufels". In Übereinstimmung mit den Anforderungen der katholischen Religion als ein Heiliger nur hinzugefügt werden, könnte man die schon vor seiner "Himmelfahrt", bis zu seinem Tod gelang es mindestens zwei Wunder zu vollbringen. И вот преподобные отцы приступали к обряду канонизации, устраивая инсценированное судилище, где фигурировал "адвокат дьявола". Он подвергал сомнению чудеса, требовал доказательств их свершения. Именно так скептик Таубе, апеллируя к дьявольскому наследию парадоксов, сомневается в сенсационных успехах кибернетики и не меньше в посулах ее энтузиастов, требует доказать реальность кибернетических чудес, картинно расписанных в многочисленных статьях и книгах. Enthusiasten, natürlich nicht wie die Skeptiker. Aber die Kritik der Skeptiker ausgeht, nicht nur dazu beigetragen, Enthusiasten werden präziser, bestimmt, strenger in den Schlussfolgerungen, die letztlich die Wissenschaft profitiert. Und das Problem ist, ins Stocken geraten, früher oder später wird aus dem Totpunkt verschoben.
Im Jahr 1900 fand in Paris den Internationalen Kongress der Mathematiker. Es bekannter Wissenschaftler David Hilbert stellte dreißig mathematische Probleme. Sie waren sehr einfach formuliert, manchmal sogar ganz elementar und beliebt. Однако ни одна из них в то время не была решена. Darüber hinaus hat es keine Hoffnung auf eine mögliche Lösung eingereicht. Минули десятилетия. Während dieser Zeit nach und nach fast alle "unlösbare" Probleme wurden gelöst. Und in vielen Fällen aufgrund der Tatsache, dass die Mathematik, aufgeregt Hilbert Probleme Wissenschaft mit neuen bereichert haben, tiefer, anspruchsvollere Methoden. Was im Jahr 1900 hoffnungslos schwierig schien, war auf der Schulter des neuen math. Sicherlich ist die kontinuierliche Fortschritte in der mathematischen Logik führt nicht früher oder später das Paradoxon zu lösen? Уже достигнуты определенные успехи в этом направлении. (Zum Beispiel erstellt Russell "Typentheorie" in irgendeiner Weise den Barbier Paradoxon zu neutralisieren.) Ja, das Skeptiker sind nicht nur Enthusiasten helfen, uns auf die Wissenschaft zu bewegen. Парадоксально, но несомненно - чтобы началось движение, потребовалось сказать:
- Движенья нет!