Martin Gardner: Ausführung durch Überraschung und zugehörige logische Paradox

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"Es gab ein großes neues Paradoxon" - so ein wenig verständlich für den Uneingeweihten Michael Scriven Artikel in der Juli-Ausgabe der britischen Zeitschrift philosophischen Geist für 1951 begann. Scriven hielt den Lehrstuhl für Philosophie der Wissenschaft an der Indiana University, und in solchen Dingen mit seiner Meinung nicht ignoriert werden konnte. Das Paradox war in der Tat großartig. Ein ausreichender Nachweis - mehr als zwanzig Artikel über sie in verschiedenen Zeitschriften. Die Autoren, unter denen sich bekannte Philosophen, nicht einverstanden stark darüber, was als die Entscheidung des Paradoxons betrachtet werden. Im Laufe der Jahre, konnte keiner zu einer Einigung zu kommen, so dass das Paradox und noch Gegenstand hitziger Debatten ist.

Es ist nicht bekannt, wer zuerst die Idee von Paradox hatte. Nach WV Quine, der Logik der Harvard University, der Autor eines der oben genannten Artikel, der erste dieses Paradoxon in den frühen vierziger Jahren dieses Jahrhunderts zu sprechen, oft ist es wie ein Puzzle von einem Mann zum Tode verurteilt Formulierung durch den Strang.

Der Verurteilte wurde ins Gefängnis geworfen am Samstag.
- Sie wird am Mittag aufgehängt werden - der Richter sagte ihm, - einer von den sieben Tagen der nächsten Woche. Aber welche Art von Tag sollte es passieren, wissen Sie nur morgens am Tag der Hinrichtung.
Richter war berühmt für die Tatsache, dass immer sein Wort gehalten. Verurteilt er an die Kammer zurückkehrte, von einem Anwalt begleitet. Sobald sie allein gelassen wurden, lächelte der Verteidiger zufrieden.
- Verstehen Sie das nicht? - Rief on.- Nach einem Richterspruch nicht zu erzwingen sein!
- Wie? Ich verstehe nicht, - der Gefangene murmelte.
- Lassen Sie mich erklären. Offensichtlich ist der nächste Samstag können Sie nicht auflegen: Samstag - den letzten Tag der Woche, und am Freitagnachmittag hätten Sie sicher bekannt, dass Sie am Samstag gehängt werden. So am Tag der Hinrichtung Sie auf das Mahnschreiben am Samstagmorgen gelernt haben, daher ordneten die Richter verletzt würden.
- Es ist wahr - einem Gefangenen vereinbart.
- Also, Samstag, ist natürlich nicht mehr, - Fortsetzung der Anwalt - so Freitag der letzte Tag ist, wenn Sie hängen kann. Doch am Freitag, können Sie nicht auflegen, weil nach Donnerstag nur zwei Tage geblieben wäre - Freitag und Samstag. Seit Samstagnachmittag nicht ausgeführt werden kann, müssen Sie nur am Freitag zu hängen. Aber wenn man sich dessen bewusst geworden, wie schon am Donnerstag, Auftrag der Richter wieder gebrochen. Somit wird Freitag ebenfalls eliminiert. So ist der letzte Tag, an dem man konnte noch ausgeführt werden, an diesem Donnerstag. Allerdings ist Donnerstag auch aus, denn in der Wohnumgebung zu bleiben, werden Sie sofort verstehen, dass die Ausführung am Donnerstag zu nehmen.
- Alles klar! - Sagte der Häftling Ähnlich vospryanuv duhom.-, ich Mittwoch, Dienstag und Montag ausschließen. Es bleibt nur zu morgen. Aber morgen werde ich wohl nicht gehängt werden, weil ich es heute kennen!

Kurz gesagt, ist das Urteil in sich widersprüchlich. Auf der einen Seite sind die beiden Aussagen, aus denen sie sich zusammensetzt, gibt es nichts logisch widersprüchlich, aber auf der anderen - es auszuführen, stellt sich heraus, unmöglich zu sein. Das ist das Paradoxon vorstellen DJ. O'Connor, ein Philosoph an der Universität von Exeter, veröffentlicht den ersten Artikel zu diesem Paradoxon (Geist, im Juli 1948). O'Connor In der Erklärung des Offiziers erschien seine Untergebenen bekannt, dass die nächste Woche ist die Angst gehalten werden, die niemand im Voraus bis 18.00 Uhr am Tag wissen können, auf dem er zugeordnet ist.

"Es ist leicht zu sehen - O'Connor schrieb - von der Definition folgt, dass kein Alarm ist, kann überhaupt nicht sein." O'Connor, offenbar gemeint, die einen Alarm zu erklären, ohne dass die oben genannten Bedingungen verstoßen, ist unmöglich. Eine ähnliche Meinung wird von den Autoren der späteren Artikeln geteilt.

Wenn dieses Paradoxon erschöpfend sein, wäre es möglich, die Meinung von O'Connor zu verbinden, die das Problem "eine Kleinigkeit" zu sein schien. Allerdings Scriven zum ersten Mal bemerkt etwas, das die Aufmerksamkeit von anderen Autoren entgangen war und macht das Problem nicht so einfach ist. Um zu verstehen, die Essenz von Scriven stellt fest, zurück in die Geschichte eines Mannes, ins Gefängnis geworfen. Makellos logisches Denken wäre es überzeugt zu sein, dass es ohne den Satz zu brechen, um die Ausführung des Unmöglichen. Und plötzlich zur Überraschung des Verurteilten, am Donnerstagmorgen in der Kamera ist der Henker. Verurteilt Natürlich ist dies nicht erwartet, aber die meisten überraschend, dass der Satz völlig korrekt war - es ist möglich, in voller Übereinstimmung mit dem Wortlaut zu erzwingen. "Es scheint mir, - sagt Scriven - das ist eine grobe Eindringen der Außenwelt, die subtilen logischen Konstruktionen zu zerstören, macht das Paradox eines speziellen Pikanterie Logic mit rührender Regelmäßigkeit ausstößt Beschwörungen, die in der Vergangenheit zu dem gewünschten Ergebnis geführt, aber das Monster Wirklichkeit zu diesem Zeitpunkt weigert zu gehorchen. und setzt seinen eigenen Weg zu gehen. "

Um die sprachlichen Schwierigkeiten zu verstehen, dass wir in diesem Paradoxon auftreten, sollten in zwei neue Formulierungen sein Äquivalent erste Folge haben. Dies wird uns helfen, verschiedene Arten von Faktoren zu beseitigen, die nicht relevant für den Fall sind und ein Black-out das Endergebnis: die Fähigkeit, den Richter Satz, einen Gefangenen zu Todesstrafe zu ändern, usw.

Betrachten _ die erste Version des Paradoxons vorgeschlagen Skryavenom, -paradoks mit Ei-Überraschung.

Stellen Sie sich vor, dass Sie vor zehn Kisten stehen, nummeriert mit Zahlen von 1 bis 10. Sie wenden und Ihr Freund legt in einer der Boxen Ei und fordert Sie auf, umzukehren. "Öffnen Sie alle Felder eins nach dem anderen, - sagt er - zunächst die erste, dann die zweite, und so die Reihenfolge einer zehnten Garantie, dass einer von ihnen ist Ei-Überraschung Aufruf Ei Überraschung habe ich einen daran, dass man nicht lernen kann .. Abstellraum mit dem Ei, solange Sie die Eier nicht die Box zu öffnen und nicht zu sehen. "

Nehmen wir an, dass Ihr Freund immer die Wahrheit sagt. Ob dann ist es möglich, Vorhersage? Offensichtlich Nr. Er hat sicherlich nicht ein Ei in einem Feld von 10 gesetzt, weil sie durch die ersten neun Frames öffnen und fand nichts in ihnen, können Sie mit Sicherheit sagen, dass das Ei die Sohle ist in der Box bleiben. Es würde auf die Vorhersage des Freundes Gegenteil sein, so dass der zehnte Feld ausgeschlossen. Betrachten wir nun, was passieren würde, wenn Ihr Kumpel Langsamkeit ein Ei in der neunten Box versteckt. Die ersten acht Boxen ist leer, dann, und vor Ihnen zwei geschlossenen Boxen bleiben: neunten und zehnten. In der zehnten Feld von Eiern nicht sein kann, ist es daher in der Box ist 9. Sie das neunte Feld und das Ei zu öffnen, natürlich gibt es. Es ist jedoch klar, dass das Ei nicht überraschend angesehen werden. Damit haben wir erneut bewiesen, dass Ihr Kumpel ist falsch. Box 9 ist ebenfalls ausgeschlossen. Aber in diesem Moment, Sie und "losgelöst von der Realität": mit einer ähnlichen Argumentation kann erste Achtel der Box beseitigt werden, dann siebte, und so weiter, bis die erste! Schließlich ist absolut sicher, dass alle zehn leere Kisten, Sie starten sie ein zu öffnen, indem man, und es ist weiß ... Was ist in der Box 5? Ei-Überraschung! So erwies sich trotz all Ihrer Argumentation Vorhersage Ihren Freund korrigieren. Also haben Sie einen Fehler gemacht, aber was?

Um das Paradox noch mehr "paradox" Form machen, sollten Sie die dritte Version seiner Formulierung, die ein Paradoxon mit unvorhersehbaren Karte bezeichnet werden kann. Stellen Sie sich vor, dass sich an den Tisch vor Ihnen sitzt dein Freund und hält dreizehn Karten Anzug Pik. Die Karten werden gemischt und verteilt sie in der Hand Fan, die Bilder zu ihr, legt er auf den Tisch, eine Loch-Karte. Sie müssen, um alle dreizehn Karten langsam zur Liste, mit dem Ace (Ass bis 1 entspricht, Jack - 11, Königin - 12 und der König -. 13 Punkte) beginnend und endend mit König. Wenn Sie die Karte auf dem Tisch liegen anrufen, dein Freund hat "Ja", in allen anderen Fällen zu sagen, sagt er "nein".

- Ich werde dich tausend Dollar gegen zehn Cent wetten, - sagt er -, dass man nicht so lange die Karte identifizieren kann, wie ich nicht sagen: "Ja".

Nehmen wir an, Ihr Freund tun alles in seiner Macht nicht zu verlieren Geld. setzen auf King Buffet Spitze kann es in diesem Zustand? Offensichtlich Nr. Nachdem Sie die ersten zwölf Karten Liste nur einen König haben, und Sie getrost seiner Berufung. Vielleicht Karte invertiert - Dame? Nein, da wird nach Jack genannt werden, nur zwei Karten bleiben: der König und die Königin. Als König, Sie haben bereits ausgeschlossen, können unbekannte Karte nur eine Dame sein. Es scheint, dass alles in Ordnung ist, können Sie $ 1000 wieder gewinnen. Ebenso alle anderen Möglichkeiten ausgeschlossen. Es stellt sich heraus, dass unabhängig von der Karte Sie vorher wissen. Die obige Argumentationskette scheint unverwundbar. Auf der anderen Seite ist es klar, dass auf der Rückseite der invertierten Karten suchen, müssen Sie nicht die geringste Ahnung, welche Art von Karte haben!

Auch in vereinfachter Form etoyu paradox (mit den zwei Tagen mit zwei Boxen, oder mit nur zwei Karten), ist es schwierig, das Gefühl von etwas sehr eigenartige Mehrdeutigkeit zu entkommen. Lassen Sie Ihren Freund haben nur ein Ass und einen Einstand. Wenn er die beiden auf den Tisch legt, dann gewinnen Sie wirklich. Der Aufruf Ass, Sie haben es somit ausgeschlossen und getrost sagen kann: "Ich kam zu dem Schluss, dass auf dem Tisch zwei". Zu diesem Schluss zu machen, starten Sie von der Annahme aus, dass die folgende Aussage wahr ist: "Liegen vor mir die Karte muss entweder ein Spitzen Ass oder deuce Spitze sein". (In den drei jeweiligen Paradoxon Option setzt voraus, dass der Verurteilte gehängt werden, werden die Karten werden nur für das, was Ihr Freund genannt, und das in einer der Boxen wird sicherlich ein Ei legen.) Sie sind in keiner Weise gegen die Logik übertreten und hat das Recht, zu hoffen, dass Sie gewinnen können Ihr Kumpel $ 1.000.

Nehmen wir aber an, dass Ihr Freund pa Tisch Pik-As setzen. Können Sie nur herausfinden, was sie eine Karte gelegt - es ist ein Ass? Natürlich wäre Ihr Freund nicht 1.000 $ riskieren müssen, die zwei Putting. Daher müssen unbekannte Karte Ace sein. Sie sprechen diese Worte laut und ein "Ja" als Antwort zu hören. Haben Sie Grund zu glauben, dass Sie die Wette gewonnen haben?

Merkwürdig genug, aber solche Gründe vorliegen, tun Sie nicht. Der Versuch, die Gründe für diese seltsame Behauptung zu verstehen, kommen wir zum Kern unseres Paradoxon. Ihre frühere Schlussfolgerung wurde basiert auf der Tatsache, dass die Karte entweder sein, dass ein Ass oder ein Einstand, so dass, wenn eine unbekannte Karte nicht ein Ass ist, muss es dann unbedingt zwei sein. Doch hier haben Sie eine zusätzliche Annahme verwendet:
Glauben Sie, dass Ihr Freund die Wahrheit sagt, oder, um es einfach auszudrücken, ist in ihrer Macht Stehende tun alles, was nicht $ 1.000 zu verlieren. Aber wenn Sie durch logisches Argument Satz sind, die auf dem Tisch ist ein Ass, dann speichern Sie Ihre $ 1000 Ihr Freund nicht in der Lage sein, auch wenn er kein deuce und Ass legen habe. Da Ihr Freund in irgendeiner Weise ihr Geld beraubt, hat es keinen Grund, eine Karte mit einem anderen zu bevorzugen. Es ist notwendig, zu verstehen, wie Ihr Vertrauen, dass auf dem Tisch Ass ist, sobald es sehr wackelig wird. Aber tun Sie ganz vernünftig, Wetten, dass eine unbekannte Karte - das Ass, denn es kann tatsächlich ein Ass sein. Aber um zu gewinnen es erfordert viel mehr: Sie müssen beweisen, dass sie zu ihrem Abschluss kam die "Eisen" Logik verwenden, aber das ist unmöglich. So kann ein Teufelskreis in Ihrer Argumentation enthalten. Erstens, Sie davon ausgehen, dass Ihr Freund das Ereignis korrekt vorhergesagt, und auf der Grundlage ihrer Annahme, der Schlussfolgerung, wonach eine unbekannte Karte muss Ace sein. Aber wenn die Tabelle ein Ass ist, war Ihr Freund in seiner Vorhersage falsch, und deshalb müssen Sie nicht auf zu raten zu verlassen, wenn Karten invertiert. Aber das ist nicht alles. Da Sie die Karte nicht erkennen kann, dann Vorhersage Ihres Freundes ist wahr. Daher sind Sie zurück zum Ausgangspunkt, und der ganze Kreis beginnt von neuem. In diesem Sinne ähnelt die Situation ein Teufelskreis, in dem Argument zu dem bekannten Paradoxon des vorgeschlagenen ersten englischen Mathematiker P. EB Jourdain im Jahr 1913 bezieht. Die Argumentation ist ähnlich wie die oben beschriebenen, die Sie in einem Kreis gehen, immer in die Ausgangsposition zurückkehrt: definieren eine logische Art und Weise, welche Karte auf dem Tisch liegt, ist es unmöglich. Es ist möglich, natürlich, erraten Sie es. Zu wissen, sein Freund, können Sie zu dem Schluss kommen, dass auf dem Tisch, am wahrscheinlichsten, das Ass ist. Allerdings wird kein Selbstachtung Logikschaltung rufen Sie Ihre Argumentation vollkommen streng.

Alle Ungültigkeit Ihrer Argumentation wird in dem Beispiel der zehn Kisten besonders deutlich. Zuerst "schließen", dass das Ei im Kasten ist 1, aber das Feld ist leer. Daraus schließen Sie, dass das Ei 2 geboxt, aber es hat nichts finden. Es drängt Sie zu denken, dass das Ei in der Box 3, und so weiter. D. (Alles geschieht, als ob für einen Moment, bevor Sie die Tabelle schauen, wo, Ihrer Meinung nach, sollte ein Ei legen, einige völlig unverständlich mit einer höheren Zahl in das Feld verschiebt seinen Weg.) Schließlich werden Sie einen Empfang im Eierkarton finden 8. ist es nun möglich, diese Veranstaltung im Voraus vorgesehen nennen, und alle Ihre Argumente aus der Sicht der Logik perfekt in Betracht gezogen? Sicherlich nicht, weil man acht Mal verwendet, um das gleiche Verfahren und in sieben Fällen erhalten ein falsches Ergebnis. Es ist leicht zu verstehen, dass das Ei in jedem Feld sein können, einschließlich im allerletzten.
Auch nach dem 9 leere Kisten geöffnet, die Frage, ob man zu dem Schluß über den Verbleib des Eies logisch kommen kann (ob es in einem Feld von 10 oder weniger ist), bleibt offen. Mit nur eine Annahme ( "Eine der Boxen ist sicher, Ei enthalten"), Sie sind, natürlich, wird das Recht haben, zu behaupten, ohne sich mit den Gesetzen der Logik in Konflikt eintritt, ist das Ei in das Feld 10. In diesem Fall wird der Nachweis von Eiern in Feld 10 - das Ereignis, vorhersehbare im Voraus, und die Aussage, dass, wenn es nicht, falsch vorhergesagt werden kann. Einen weiteren Annahme (dass Ihr Freund die Wahrheit sagt, wenn er sagt, dass "koordinieren", um die Eier, das heißt, die Anzahl der Kisten mit Eiern, ist es unmöglich, im Voraus vorherzusagen), werden Sie selbst die Möglichkeit zu nehmen alle logischen Schlüsse zu machen, denn nach der ersten Annahme, das Ei es sollte 10 in der Box sein (und Sie können es im Voraus behaupten), und die zweite - Sie brauchen, um das Ei plötzlich für sich selbst zu finden. Da zu jedem Schluss zu kommen, kann nicht Eier im Kasten erkennen 10 sollte ein unvorhersehbares Ereignis im Voraus in Betracht gezogen werden, und beide Annahmen - richtig, aber ihre "Sanierung" nicht kommen, bevor Sie die letzte Box zu öffnen und ein Ei darin.

Lassen Sie uns, indem es dieses Mal Form des Paradoxons eines Mannes noch einmal die Lösung des Paradoxons untersuchen verurteilt, gehängt zu werden. Jetzt wissen wir, dass der Richter Satz richtig formuliert und der Gefangene von Argumentation ist falsch. Es ist falsch, ist der erste Schritt in seinem Argument ist, wenn er glaubte, wenn er nicht am letzten Tag der Woche hängen. In der Tat gibt der Verurteilte gibt keinen Grund, zu tun, was, was Rückschlüsse auf sein Schicksal, auch am Abend vor der Ausführung (die Situation ist hier die gleiche wie in dem Paradoxon des Eies, wenn die letzte geschlossene Box bleibt). Diese Idee spielt eine entscheidende Rolle in der bekannten Logik von Quine, die er im Jahre 1953 schrieb.
Quine sagt, als ob er den Gefangenen auf der Stelle gedacht. Wir müssen vier Fälle zu unterscheiden: die erste - ich morgen Nachmittag hängen, und ich weiß jetzt darüber (aber ich weiß eigentlich gar nicht); Zweitens - ich habe nicht morgen Nachmittag hängen, und ich weiß jetzt darüber (aber eigentlich weiß ich nicht); dritte - ich habe morgen Nachmittag nicht hängen, aber jetzt weiß ich nicht, und schließlich die vierte - mir Nachmittag morgen hängen, aber jetzt weiß ich nicht.
Die letzten beiden Fälle sind möglich, von denen die letztere würde eine Herabsetzung der Strafe bedeuten. In einer solchen Situation gibt es keine Notwendigkeit voraus zu denken und den Richter im Streit fangen. Wir können nur warten, das Beste zu hoffen.

Scottish Mathematiker Thomas G. O'Beirne Artikel mit etwas paradox Titel "Kann das Unerwartete jemals passieren?" (The New Scientist, 25. Mai 1961) bietet eine hervorragende Analyse der Diskussion des Paradoxons. Als O'Beirne der Schlüssel zum Paradox liegt in dem Bewusstsein eines relativ einfachen Dinge zeigt: eine Person Informationen, die es ermöglichen, die richtige Vorhersage eines zukünftigen Ereignisses in Betracht gezogen werden, kann man nichts über die Genauigkeit der Vorhersagen sagen, so lange, wie es ist Ereignis nicht auftritt. Es ist leicht, ein einfaches Beispiel zu geben, die Unterstützung der Idee O'Beirne. Lassen Sie jemand Sie einen Kasten verteilen, sagt sie: "Mach es auf - im Ei." Er weiß, dass seine Vorhersage richtig ist, Sie wissen nicht, diese bis, bis Sie die Box zu öffnen.

Das gleiche kann über dieses Paradox gesagt werden, und dem Richter, und die Person, die ein Ei in einer der Kisten, und unser Freund mit dreizehn Karten legen - jeder von ihnen weiß, dass seine Vorhersage erfüllt werden. Doch ihre Worte an die Vorhersage kann als Grundlage für die Argumentation Kette nicht dienen, was schließlich zur Widerlegung der Vorhersage. Именно здесь кроется то бесконечное блуждание по кругу, которое, подобно фразе на лицевой стороне карточки из парадокса Журдена, обрекает на неудачу все попытки доказать ошибочность предсказания.

Суть нашего парадокса станет особенно ясной, если воспользоваться одной идеей, высказанной в статье Скривена. Предположим, что муж говорит своей жене:
"Я сделаю тебе ко дню рождения сюрприз. Ты ни за что не догадаешься, какой подарок тебя ожидает. Это тот самый золотой браслет, который ты видела на прошлой неделе в витрине ювелирного магазина".
Что же теперь делать его несчастной жене? С одной стороны, она знает, что муж никогда не лжет и всегда выполняет свои обещания. Однако если он все же подарит ей золотой браслет, то это уже не будет сюрпризом и тогда обещание окажется невыполненным, то есть муж сказал ей неправду. А если это так, то к каким выводам может она прийти, рассуждая логически? Не исключено, что муж сдержит слово и подарит ей браслет, нарушив обещание удивить ее неожиданным подарком. С другой стороны, он может сдержать свое слово, что подарок будет неожиданным, но нарушить второе обещание и вместо золотого браслета подарит ей, например, новый пылесос. Поскольку муж своим утверждением сам себе противоречит, у нее нет никаких разумных оснований предпочесть одну из этих возможностей другой, следовательно, у нее нет оснований надеяться на золотой браслет. Нетрудно догадаться, что будет дальше: когда. в день рождения муж преподнесет ей браслет, подарок мужа окажется для нее приятным сюрпризом, поскольку его нельзя предсказать заранее никакими логическими рассуждениями. Муж все время знал, что может сдержать слово и сдержит его. Жена же этого не знала до тех пор, пока обещанное событие не произошло. Утверждение мужа, которое еще вчера казалось ей чепухой и ввергло ее в запутаннейший клубок логических противоречий, сегодня вдруг стало абсолютно правильным и непротиворечивым благодаря появлению долгожданного золотого браслета.

На примере рассмотренных парадоксов мы ясно ощутили волшебную силу слова (или, точнее, если воспользоваться выражением Бурбаки, силу "вольности речи"). Она-то и делает парадоксы столь сложными и вместе с тем столь привлекательными.

Очень многие читатели сообщили о весьма остроумных попытках решения парадокса об осужденном, которого должны повесить в не предсказуемый заранее день недели. Некоторые из них даже посвятили решению парадокса целые статьи в серьезных журналах.

Л. Экбом, преподаватель математики из Стокгольма, сообщил нам историю, которая вполне могла послужить поводом для формулировки парадокса о неожиданной казни. Как-то раз в 1943 или 1944 году шведское радио сообщило о том, что на следующей неделе намечено объявить учебную воздушную тревогу. Чтобы проверить готовность войск ПВО, учения решено провести внезапно, так что даже утром в день тревоги ни один человек не сможет предугадать, в котором часу она будет объявлена. Автор письма усмотрел а этом логический парадокс и обсудил его со своими студентами. В 1947 году один из этих студентов, будучи в Принстоне, услышал какой-то из вариантов того же парадокса из уст известного математика и логика Курта Гёделя. Далее автор пишет, что сначала он никак не связывал происхождение обсуждаемого парадокса со случаем объявления тревоги но шведскому радио, но это событие вполне могло быть источником парадокса, поскольку Куайн впервые узнал об этом парадоксе в начале сороковых годов.

Ниже вы прочтете два письма, авторы которых вовсе не пытаются разрешить парадокс, но приводят ряд весьма забавных (и запутанных) рассуждений.

Sehr geehrte Redaktion!

При чтении статьи о парадоксе с яйцом-сюрпризом создается впечатление, будто автор, логически доказав, что яйцо не может лежать ни в одной из коробок, был несколько удивлен, обнаружив его в коробке с номером 5. На первый взгляд это и в самом деле удивительно, но после тщательного анализа задачи можно доказать, что яйцо всегда будет находиться в коробке 5.

Доказательство проводится следующим образом.

Пусть S — множество всех утверждений, а Т — множество всех правильных (истинных) утверждений. Любой элемент множества (то есть любое утверждение) может принадлежать либо множеству Т, либо множеству С = S - Т. то есть дополнению множества Т, но не может принадлежать тому и другому множеству одновременно. Рассмотрим следующие два утверждения:
1. Каждое утверждение, написанное в этом прямоугольнике, принадлежит множеству С.
2. Яйцо всегда должно лежать и коробке 5.
Утверждение 1 принадлежит либо множеству Т, либо множеству C, но не тому и другому одновременно.
Если утверждение 1 принадлежит множеству Т, то оно истинно. Но если оно истинно, то любое утверждение, написанное в прямоугольной рамке — в том числе и утверждение 1, — принадлежит множеству С. Таким образом, предположив, что утверждение 1 принадлежит множеству Т, мы получим, что оно принадлежит множеству С, то есть придем к противоречию.
Предположим теперь, что утверждение 1 принадлежит множеству С. Тогда нам придется рассмотреть два случая:
случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству С, и случай, когда утверждение 2 принадлежит множеству Т.
Пусть утверждение 2 принадлежит множеству С, тогда утверждения 1 и 2, то есть оба утверждения, обведенные прямоугольной рамкой, принадлежат множеству С. Именно в этом и состоит утверждение 1; следовательно, оно истинно и должно принадлежать множеству Т. Таким образом, предположив, что оба утверждения 1 и 2 принадлежат множеству С, мы получили, что утверждение I принадлежит множеству Т, то есть опять пришли к противоречию.
Если же утверждение 2 принадлежит множеству Т (а утверждение 1 — множеству С), то утверждение I, смысл которого сводится к тому, что каждое из утверждений, заключенных в прямоугольную рамку, принадлежит множеству С, противоречит тому, что утверждение 2 есть элемент множества Т. Следовательно, утверждение 1 ложно и должно принадлежать множеству С в полном соответствии со сказанным выше.
Таким образом, существует единственный непротиворечивый случай: когда утверждение 1 принадлежит множеству С, а утверждение 2 — множеству Т. Последнее означает, что утверждение 2 истинно.
Следовательно, яйцо будет всегда лежать в коробке 5.
Как видите, особенно удивляться, обнаружив яйцо в коробке 5. не стоит.

Дж. Вэриэн
Д. С. Беркс
Станфордский университет, штат Калифорния.

Мильтон Р. Сэйлер
Уортингтон, штат Огайо.