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Matisch mathematische programuvannya - Nakonechny S.І.

5.5.5. Ugorsky Methode rozv'yazuvannya transportnoї zadachі

Іdeya tsogo Methode rozv'yazannya transportnoї zadachі Vpershe Bula zaproponovana ugorskim Mathematiker Je Egervarі 1931 roku, tobto geschlitzt rozroblennya zagalnoї teorії lіnіynogo programuvannya. Spochatku Tsei Methode LUVs rozrobleny für rozv'yazuvannya spetsifіchnogo Geist transportnoї zadachі und Zgoda uzagalneny. Ninі ugorsky Methode Yea ein s nayposhirenіshih metodіv rozv'yazannya Transportprobleme.

Vіn dosit Just Look obchislen s i Mauger zastosovuvatisya ohne uperedzhen navіt in razі virodzhenostі Plan.

Іdeya Methode polyagaє in zdіysnennі poslіdovnogo Übergang od deyakogo nicht akzeptabel Plan (nicht OAO erfordern Alle zadovolenі ich nicht alle Produkciya Vivaise) auf ein akzeptables scho Yea rozv'yazkom zadachі. Tsey perehіd zdіysnyuєtsya für skіnchennu Menge іteratsіy (Ale nevіdomu zu kіntsya obchislen), scho s pov'yazanі peretvorennyami matritsі vartostey i-line-Plan .

Nazvemo umovno optimale Pläne (pseudoprogram) transportnoї zadachі (5.1) - (5.4) Taku sukupnіst nevіd'єmnih Zahlen , Yak zadovolnyaє Aufgaben nerіvnostey System:

(5.27)

(5.28)

i takі nastupnі Köpfe für zmіnnih dvoїstoї zadachі - potentsіalіv:

, Yakscho ;

, Yakscho .

Mіroyu nedopustimostі (Köpfe neoptimalnostі) umovno-optimalen Plan Mauger Buti nayavnіst rіznitsі mіzh sumoyu vsіh zapasіv (chi verlangen, um die scho SAME) i sumoyu vsіh transportiert umovno-optimalen Plan tobto:

(5.29)

Zrozumіlo scho bezeichnen die D nev'yazka Mensch, Tim blizhche umovno-optimalen Plan zu naykraschogo transportnoї zadachі planen, während razі, wenn D = 0, vіn zbіgaєtsya s optimalen Plan.

Zvіdsi leicht zbagnuti іdeyu rozglyaduvanogo Methode rozv'yazuvannya transportnoї zadachі: pochinayuchi s deyakogo Pochatkova zadachі Plan podvіynoї zu transportnoї Sie können wissen poslіdovnіst optimal dopomіzhnih Anzahl von Aufgaben auf mіnіmіzatsіyu (5.29) für obmezhen (5.27) i (5.28), den folgenden Plan der Haut yakoї nadaє nev'yaztsі (5,29) kleinere Werte in zіstavlennі s poperednіm und ostannіy Plan tsієї poslіdovnostі nadaє Neuve 'planіv yaztsі nulovogo Wert zbіgayuchis haben Taqiy sposіb s optimalen Plan transportnoї zadachі.

Otzhe, kutane іteratsіya Methode oznachatime rozv'yazuvannya dopomіzhnoї zadachі (5.27) - (5.28) i zmenshennya bei tsomu Werte tsіlovoї funktsії (5,29) porіvnyano s poperednіm rozv'yazkom tsієї zadachі.

Dwellers sformulyuvati dopomіzhnu Aufgabe erfordert krіm vikoristannya Werte ich Scho їh mіstit gegeben Transportproblem, pobuduvati Schlitz deyaky Plan dvoїstoї zadachі . . Für cob pershoї іteratsії tse leicht zrobiti, uzyavshi, napriklad:

. (5,30)

Und Danium Plan zadovolnyaє Köpfe:

+ (5.31)

und takozh in kutanen Reihe matritsі transportiert unaslіdok solche Vibor potentsіalіv vikonuvatimetsya Hoca verwendet ein rіvnіst Form (5.31). Spravdі, wobei zu ten Zeile in pravіy chastinі (5.31) , Dіstanemo:

.

Im folgenden іteratsіyah utvorenu System potentsіalіv zmіnyuєmo, ale so scho Won zavzhdi zalishaєtsya bis podvіynoї zadachі.

Navedenі Vische obmezhennya für zmіnnih dvoїstoї zadachі:

, Yakscho ;

, Yakscho

oznachayut scho klіtini in yakih für viznachenoї auf der k-ten krotsі Sistemi potentsіalіv vikonuєtsya strenge nerіvnіst Nicht zapovnyuyut. Otzhe, rozv'yazuyuchi Problem, wir vikoristovuvati Deprivation Ti klіtini für yakih .

Zauvazhimo scho mіnіmіzatsіya tsіlovoї funktsії (5,29) rіvnoznachna maksimіzatsії andere її dodanka

(5.32)

wenn tіy samіy sistemі obmezhen. Zrozumіlo scho , Während matimemo: .

Vihodyachi s Führung Theoretizität Hinterhalte rozglyanemo Algorithmus ugorskogo Methode:

1. Pobudova dopomіzhnoї zadachі s tsіlovoyu funktsієyu (5,32) ist in den Köpfen der (5.27), (5.28).

2. Pobudova Pochatkova Support-Plan dopomіzhnoї zadachі scho otrimana auf poperednomu krotsі Algorithmus, ein s vіdomih metodіv.

3. Vіdshukannya optimalen Plan dopomіzhnoї zadachі.

3.1. Zbіlshennya Werte . Viznachayut Reihen, de som von Reihen Mensch od zapasіv und Erleichterung für sie transportiert - stovptsі, SSMSC vibranomu Arbeit in einer Reihe nicht zu zaboronenі klіtini transportiert. Vibranі Zeilen i stovptsі poznachayut wie folgt:

. (5.33)

dass . (5.34)

Potіm . . (5,35)

3.2. Viznachennya klіtin, die in yakih durch Wert neobhіdno zmіniti. Poslіdovnіst Tsikh klіtin schuldig utvoryuvati deyaky lantsyug, yakogo Elemente Je poznachenih Zeilen in dieser Spalte für i kann Yakima lishok Lager deyakogo übertragen werden ten Reihe, scho LUVs poznacheny Perche, in -tu Spalte poznachenu ostannoyu.
In zagalnomu vipadku poslіdovnіst Got viglyad:

.

In znaydenomu lantsyuzі poznachaєmo Perche Yogo klіtinu s kіntsya "plus" und INSHI für Chergas Zeichen "plus" i "mіnus". Znaydemo Wert:

. (5.36)

Yak kann s Algorithmus zu sehen ist, dorіvnyuє menshіy s dvoh Werte: naymenshogo Elements lantsyuga scho poznacheny Zeichen "mіnus" i Lager in poznachenomu Perche Punkt vіdpravlennі nevikoristanogo. Wert Je nezadovolenoyu erforderlich in poznachenomu naprikіntsі punktі Lieferung. Zsuvu auf lantsyugu pіdlyagaє Mensch s Tsikh Werte, scho th führen zu navedenoї von rozrahunku q Formulierung (5.36).

4. Perehіd zu nastupnoї dopomіzhnoї zadachі optimal planen yakoї blizhchim auf den optimalen Plan bude pochatkovoї transportnoї zadachі.

In kіntsevіy tablitsі rozv'yazanoї dopomіzhnoї zadachі poznachenі Säule Mühsal Balance Sumi transportiert durch kolontsі i erfordern von vіdpovіdnih Punkte. Es ist einfach, scho zaboronu zu pomіtiti transportiert znіmati s ruhig klіtin zu slіd, nalezhat SSMSC nicht Spalten poznachenih. Vodnochase in tіy samіy kіntsevіy tablitsі poperednoї dopomіzhnoї zadachі s-pomіzh poznachenih Je Reihen in yakih Absent Balance Sumi transportiert i zapasіv so scho Shuka klіtina mіstitimetsya Sered poznachenih ryadkіv in ostatochnіy tablitsі.

Poznachimo mnozhinu poznachenih ryadkіv durch Und mnozhinu poznachenih Spalten - von J (y kіntsevіy tablitsі scho mіstit rozv'yazok dopomіzhnoї zadachі). Znaydemo Wert:

(5,37)

tobto naymenshe Werte rіznitsі scho stoїt am Bug Sered zaboronenih klіtin, SSMSC mіstyatsya poznachenih in Reihen nepoznachenih i Spalten; streng bіlshe od Null oskіlki in іnshomu razі vіdpovіdna klіtina nicht bula b zaboronenoyu zu transportieren, її i-Lautsprecher können Bulo für Linderung von poznachiti poznachenogo Reihe, Geld spielt nalezhit klіtina tsya, scho superechit umovі . Zrozumіlo, scho, zbіlshivshi, napriklad, potentsіal , Kommen Yaky aus der Formel (5.37) den Wert von Tim selbst peretvoryuyut vіdpovіdnu klіtinu (in yakіy Haben) transportiert vіlnu. Zvichayno solche klіtin scho zadovolnyayut Minds (5,26), Mauger Buti bіlshe, nіzh ein. Tom poznachenih Zugang in allen Reihen zbіlshuєmo potentsіali auf Und Bewohner zberegti poperednyu mnozhinu klіtin vіlnih für transportiert wird, die Menge an vіdnіmaєmo od potentsіalіv poznachenih Spalten . Rasht potentsіalіv zalishaєmo nezmіnnoyu. Hier slіd pіdkresliti scho zgіdno s Algorithmus rozv'yazannya dopomіzhnoї zadachі OAO Alle vіlnі transportiert klіtini, SSMSC Je poznachenih in Reihen, obov'yazkovo mіstyatsya i in poznachenih Spalten. Otzhe, nova-System potentsіalіv znahodimo, zmіnyuyuchi poperednyu für Formeln:

(5.38)

Nova potentsіalіv System viznachaє nova mnozhinu klіtin, zaboronenih transportiert .

. .

Viznachivshi Ich znovu formulyuєmo rozv'yazuєmo dopomіzhnu Aufgabe.

5. Wiederholung krokіv 2-4 optimalen Plan zu vіdshukannya pochatkovoї transportnoї zadachі.

Sformulyuєmo Regeln rozv'yazuvannya dopomіzhnoї zadachі, odnochasno demonstruyuchi їh auf vіdpovіdnomu prikladі, i dayuchi in razі vіdpovіdnі Klärung bedürfen.

Rozv'yazhemo ugorskim durch Transportprobleme, die Führung in der Tabelle. 5.14:

Tabelle 5.14

Rozv'yazannya. Viznachaєmo Pochatkova potentsіalіv System pobudovi pershoї dopomіzhnoї zadachі, vikoristovuyuchi (5.23)

. .

Maєmo:

.

.

.

.

.

.

.

.

Rozrahovuєmo Mengen Ich habe zapisuєmo їh viglyadі tablitsі:

Klіtini pobudovanoї tablitsі s Einige der Elemente (rіznitsyami) vіdmіnnimi od Null ist, wird auf zaboronenimi transportiert werden, bezeichnen garantuєtsya vikonannya Köpfe stosovno potentsіalіv und klіtini s Nullen mozhna für znahodzhennya Plan dopomіzhnoї zadachі vikoristati.

Pobuduєmo Pochatkova Plan dopomіzhnoї zadachі, napriklad, von pіvnіchno-zahіdnogo Kuta vrahovuyuchi obmezhennya, nakladenі zaboronoyu zaznachenih transportiert (vіdpovіdnі klіtini Tabelle. 5,15 vidіlenі sіrim kolorom).

Tabelle 5.15

Zagalny obsyag für bis Pochatkova transportiert Mensch 50 odinits od obsyagu vsіh zapasіv (erforderlich): .

Sprobuєmo zmіniti viznacheny Plan zbіlshennya Werte . Tse Entzug mozhna zrobiti für rakhunok ruhig ryadkіv de Lager zalishivsya nevikoristanim. Otzhe, poznachimo Ti Reihen, de som transportiert durch Reihen zgіdno s Pochatkova up Mensch od vіdpovіdnogo Lager: . Poznachaєmo їh Eyad Zahlen. Odne s Werte sind vіdpovіdaє i poznachaєtsya Symbol Und andere Null Ja ich poznachaєtsya Symbol De i - Nummer vibranogo Reihe. In Nashomu prikladі so bude Deprivation ein - die vierte Reihe. Otzhe, i, oskіlki Null vіdpovіdatime vierten Reihe, dann maєmo: .

Vzagalі solche ryadkіv Mauger Buti kіlka. Zur Linderung von Haut poznachenogo Reihe (in der vierten Nashomu prikladі) poznachaєmo Spalte SSMSC poznachenomu Arbeit in einer Reihe nicht klіtini, Eyad Symbole transportiert zaboronenі (5.31): dass .

In der vierten Reihe werden nicht klіtini nalezhat drugіy dass tretіy Säulen, SSMSC poznachaєmo vіdpovіdnimi Symbole zaboronenі transportiert: . ; dass . . Poznachenі Lautsprecher (andere i-Drittel) vikoristovuyutsya für poznachennya poznachenih Schlitz nicht ryadkіv, SSMSC Mühe in danіy poznachenіy kolontsі klіtini s vіdmіnnimi od Null transportiert ( ).

Poznachennya vіdpovіdayut umovі (5.35): . .

In Taqiy sposіb Dali poznachaєmo Purshia Zeilennummern:

. .

und tretіy . .

Tabelle 5.16

Znovu poznachenі Reihen vikoristovuєmo für poznachennya der Formeln (5.36) novih, geschlitzt nicht poznachenih Spalten Pokey abo nicht znaydetsya Säule Scrip transportiert yakoї Mensch od vіdpovіdnogo Abgabestelle erfordern, ABO Prozesse poznachen nicht mozhna bude prodovzhiti. Andere vipadok oznachaє scho zmіniti nicht mozhna planen optimal tobto vіn. In Persha razі prodovzhuєmo Algorithmus.

In Nashomu prikladі znaydeno Spalte Scrip yakoї Mensch transportiert od vіdpovіdnogo Artikel erfordern. Tse vierte Spalte, Yak i poznachaєmo Zahlen:

. .

Viznachaєmo poslіdovnіst klіtin, der Wert durch in yakih slіd zmіniti. Tsya poslіdovnіst Got utvoryuvati deyaky lantsyug, yakogo Elements Musial Buti poznachenih Zeilen in dieser Spalte, kann ich für Yakima lishok Lager deyakogo übertragen werden ten Reihe, scho LUVs poznacheny Perche, in -tu Spalte poznachenu ostannoyu.

In Nashomu prikladі mit einem solchen poslіdovnіstyu klіtin Je: A 4 B 2 A 1 2 A 1 bis 4,

und .

Dali vikoristovuєmo Formel:

Otzhe bis transportiert x 42 x 14 dodaєmo i q = 40 und transportiert od x 12 vіdnіmaєmo Qiu den Wert selbst. Matimemo Tabelle. 5.17:

Tabelle 5.17

Povtoryuyuchi verarbeitet poznachen, pochinayuchi vierte Reihe, leicht pomіtiti scho vіn zakіnchuєtsya znovu auf chetvertіy kolontsі de dosyagnuta rіvnіst Sumi transportiert benötigen Lautsprecher. Otzhe Plan dopomіzhnoї zadachі optimal.

Zauvazhimo scho optimalen Wert lіnіynoї funktsії zadachі 40 odinits bіlshe od Pochatkova; zbіlshennya lіnіynoї funktsії zabezpechuєtsya atsiklіchnіstyu lantsyuga i bіlshoyu auf odinitsyu kіlkіstyu dodatnih (poznachenih "plus") in klіtin nomu.

Pereydemo dopomіzhnoї zu novoї zadachі optimal yakoї bude blizhchim auf den optimalen Plan planen zadanoї transportnoї zadachі; tsіlova funktsіya dopomіzhnoї zadachі Yak, viznachaє zagalny obsyag transportiert vantazhіv bei tsomu zbіlshuєtsya. Für nashogo Hintern tsіlkom zrozumіlo scho rіvnostі (Tobto Povny Vantage transportiert) Sie können Bulo b dosyagti, yakbi, napriklad, znyati s A 4 1 abo s yakoїs іnshoї klіtini pershoї zaboronu Spalte i durch zdіysniti transportiert (I = 1, 3, 4). Oskіlki zgadana zaborona Verlierer poperednoyu System potentsіalіv Dann znyati її möglich, Entbehrung zamіnivshi poperednyu System potentsіalіv ein neues, mit einem solchen Ale, Bewohner zberіgalasya sukupnіst nezaboronenih transportiert klіtin, znaydena auf poperednomu etapі.

Zur Führung Hintern mnozhina klіtin (i, j) für yakih . , Eine solche: A 1 B 1, A 1 3, A 1 bis 4, wobei dosyagaєtsya in klіtinі A 3 1.

Znaydemo nova potentsіalіv System:

.

.

.

.

.

.

.

.

Otzhe zaboronenimi jetzt klіtinami wird Ti transportiert, de Scho zapishemo in der folgenden Tabelle:

Viznachaєmo Pochatkova ich plane rozv'yazuєmo nova dopomіzhnu Aufgabe (Tabelle 5.18.):

Tabelle 5.18

Zroby zsuv 40 odinits von lantsyugu A 4 B 2 A 1 2 A 1 bis 4, matimemo Taqiy Plan:

.

Tsei Plan optimal oskіlki , tobto .

Zauvazhimo scho Danium Algorithmus zastosovuєtsya i für rozv'yazuvannya vіdkritih Transportprobleme ohne fіktivnih punktіv einzuführen. Für tsogo dosit zadovolniti der grupu obmezhen, Yak Got vikonuvatis in viglyadі strengen rіvnostey, so dass ich pіdіbrati System potentsіalіv auf ostannomu krotsі, Tim obmezhennyam Bewohner, SSMSC für znaydenogo Plan Je strenger nerіvnostyami, vіdpovіdali nulovі potentsіali.